Тау-число ( ${\displaystyle \tau }$ -число , англ. refactorable number ) — целое число ${\displaystyle n}$ , делящееся на число своих делителей , или, выражаясь алгебраически, такое ${\displaystyle n}$ , что ${\displaystyle \tau (n)|n}$ . Первые несколько тау-чисел :

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , .

Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6.

Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным . Уравнение ${\displaystyle (n,x)=\tau (n)}$ (где ${\displaystyle (n,x)}$ — наибольший общий делитель ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle x}$ ) имеет решение только в случае, если ${\displaystyle n}$ — тау-число.

Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:

• существуют ли сколь угодно большие ${\displaystyle n}$ , для которых и ${\displaystyle n}$ , и ${\displaystyle n+1}$ являются тау-числами
• если существует тау-число ${\displaystyle n_{0}\equiv a{\pmod {m}}}$ , следует ли из этого, что существует ${\displaystyle n>n_{0}}$ , такое что ${\displaystyle n}$ является тау-числом и ${\displaystyle n\equiv a{\pmod {m}}}$ .

Тау-числа были впервые определены и Робертом Кеннеди в 1990 году , установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном ( Simon Colton ) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов . Колтон назвал эти числа англ. refactorable . Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.

Примечания