Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей , чем любое меньшее натуральное число.

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако, по мнению математика , они были известны уже Платону , который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность в OEIS ).

номер	Сверхсоставное	разложение на простые	число делителей	разложение на праймориалы
1	1		1
2	2	${\displaystyle 2}$	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4	6	${\displaystyle 2\cdot 3}$	4	${\displaystyle 6}$
5	12	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	6	${\displaystyle 2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	12	${\displaystyle 2\cdot 30}$
10	120	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12		${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13		${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15		${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	180	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle 2^2\cdot 30\cdot 2310}
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число ${\displaystyle n}$ имеет единственное разложение на простые:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

где ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ простые, и степени ${\displaystyle c_{i}}$ положительные целые числа. Число делителей ${\displaystyle d(n)}$ числа ${\displaystyle n}$ можно выразить следующим образом:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Таким образом, для сверхсоставного числа ${\displaystyle n}$ выполняется следующее

• Числа ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$ являются первыми ${\displaystyle k}$ простыми числами.
• Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$ .
  • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов .
• За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень ${\displaystyle c_{k}}$ равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 2 ⁵ × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b , обе больше чем 1, такие, что

${\displaystyle \ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},}$

Где ${\displaystyle Q(x)}$ обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных ${\displaystyle x}$ .

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал в 1988 году.

Известно также, что

${\displaystyle 1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}44}$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}71.}$

Свойства

• Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными .

• Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
  • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также

• Высокототиентное число
• Таблица делителей
• Функция Эйлера

Примечания

Литература

• Ramanujan, S. Highly composite numbers (неопр.) // Proc. London Math. Soc. (2). — 1915. — Т. 14 . — С. 347—409 . — doi : . ( от 3 сентября 2014 на Wayback Machine )
• Handbook of number theory I (неопр.) . — Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. — С. 45—46. — ISBN 1-4020-4215-9 .
• Erdös, P. (неопр.) // Лондонское математическое общество . — 1944. — Т. 19 . — С. 130—133 . — doi : .
• Alaoglu, L. (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society . — 1944. — Vol. 56 , no. 3 . — P. 448—469 . — doi : .
• (англ.) ( . (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1997. — Vol. 1 , no. 2 . — P. 119—153 . — doi : . Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
• О. Оре. . — М. : Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 экз.

Ссылки