Число Джуги — составное число ${\displaystyle n}$ , такое, что для любого его простого делителя ${\displaystyle p_{i}}$ выполнено ${\displaystyle p_{i}|\left({n \over p_{i}}-1\right)}$ , или, что эквивалентно, такое, что для любого его простого делителя ${\displaystyle p_{i}}$ имеет место ${\displaystyle p_{i}^{2}|(n-p_{i})}$ .

Название дано по имени итальянского математика , исследовавшим эти числа в связи с гипотезой Аго — Джуги о простых числах.

Определения

Одно из эквивалентных определений дал Такаси Аго ( Takashi Agoh , 1990): составное число ${\displaystyle n}$ является числом Джуги тогда и только тогда , когда выполняется:

${\displaystyle nB_{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$ ,

где ${\displaystyle B}$ — число Бернулли и ${\displaystyle \varphi (n)}$ — функция Эйлера .

Другие эквивалентная формулировка принадлежат Джузеппе Джуге: составное число ${\displaystyle n}$ является числом Джуги тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}i^{\varphi (n)}\equiv -1{\pmod {n}}}$ ,

а также тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {N} .}$

Все известные числа Джуги ( ${\displaystyle n}$ ) фактически удовлетворяют более сильному условию:

${\displaystyle \sum _{p|n}{\frac {1}{p}}-\prod _{p|n}{\frac {1}{p}}=1}$ .

Примеры

Первые пять чисел Джуги:

30 , 858, 1722, 66 198, 2 214 408 306, … .

Например, число 30 является числом Джуги, поскольку его простые делители — это 2, 3 и 5, и можно показать, что:

• 30/2 — 1 = 14, делится на 2,
• 30/3 — 1 = 9, является квадратом трёх, и
• 30/5 — 1 = 5, совпадает с третьим простым делителем.

Свойства

Простые делители числа Джуги должны быть различными. Если ${\displaystyle p^{2}}$ делит ${\displaystyle n}$ , то ${\displaystyle {n \over p}-1=n'-1}$ , где ${\displaystyle n'}$ делится на ${\displaystyle p}$ . Поскольку ${\displaystyle n'-1}$ не может делиться на ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle n}$ не может быть числом Джуги.

Таким образом, только свободные от квадратов числа могут быть числами Джуги. Например, делителями 60 являются 2, 2, 3 и 5, и 60/2 — 1 = 29, которое не делится на 2. Таким образом, 60 не является числом Джуги.

Полупростые числа также не могут быть числами Джуги. Если число ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}}$ , где ${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$ простые, то ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1=p_{1}-1<p_{2}}$ , так что ${\displaystyle p_{2}}$ не будет делить ${\displaystyle {n \over p_{2}}-1}$ , а следовательно, ${\displaystyle n}$ не является числом Джуги.

Все известные числа Джуги чётны. Если нечётное число Джуги существует, то оно должно быть произведением по меньшей мере четырнадцати простых . Неизвестно, конечно ли количество чисел Джуги или бесконечно.

Паоло Лава ( Paolo P. Lava , 2009) высказал гипотезу, по которой числа Джуги являются решениям арифметического дифференциального уравнения ${\displaystyle n'=n+1}$ , где ${\displaystyle n'}$ — арифметическая производная числа ${\displaystyle n}$ . Хосе Мария Грау ( José Maria Grau ) и Антонио Оллер-Марсен ( Antonio Oller-Marcén ) показали, что целое число ${\displaystyle n}$ является числом Джуги тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет арифметическому дифференциальному уравнению ${\displaystyle n'=an+1}$ для некоторого целого ${\displaystyle a>0}$ .

См. также

• Число Кармайкла

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein, R. Girgensohn. Giuga's Conjecture on Primality // American Mathematical Monthly . — 1996. — Т. 103 . — С. 40–50 . — doi : . 31 мая 2005 года.
• Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava. Centotre curiosità matematiche. — Milan: Hoepli Editore, 2010. — С. 129. — ISBN 978-88-203-4556-3 .