Interested Article - Число Джуги
- 2021-05-27
- 1
Число Джуги — составное число , такое, что для любого его простого делителя выполнено , или, что эквивалентно, такое, что для любого его простого делителя имеет место .
Название дано по имени итальянского математика , исследовавшим эти числа в связи с гипотезой Аго — Джуги о простых числах.
Определения
Одно из эквивалентных определений дал Такаси Аго ( Takashi Agoh , 1990): составное число является числом Джуги тогда и только тогда , когда выполняется:
- ,
где — число Бернулли и — функция Эйлера .
Другие эквивалентная формулировка принадлежат Джузеппе Джуге: составное число является числом Джуги тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
- ,
а также тогда и только тогда, когда:
Все известные числа Джуги ( ) фактически удовлетворяют более сильному условию:
- .
Примеры
Первые пять чисел Джуги:
- 30 , 858, 1722, 66 198, 2 214 408 306, … .
Например, число 30 является числом Джуги, поскольку его простые делители — это 2, 3 и 5, и можно показать, что:
- 30/2 — 1 = 14, делится на 2,
- 30/3 — 1 = 9, является квадратом трёх, и
- 30/5 — 1 = 5, совпадает с третьим простым делителем.
Свойства
Простые делители числа Джуги должны быть различными. Если делит , то , где делится на . Поскольку не может делиться на , не может быть числом Джуги.
Таким образом, только свободные от квадратов числа могут быть числами Джуги. Например, делителями 60 являются 2, 2, 3 и 5, и 60/2 — 1 = 29, которое не делится на 2. Таким образом, 60 не является числом Джуги.
Полупростые числа также не могут быть числами Джуги. Если число , где простые, то , так что не будет делить , а следовательно, не является числом Джуги.
Все известные числа Джуги чётны. Если нечётное число Джуги существует, то оно должно быть произведением по меньшей мере четырнадцати простых . Неизвестно, конечно ли количество чисел Джуги или бесконечно.
Паоло Лава ( Paolo P. Lava , 2009) высказал гипотезу, по которой числа Джуги являются решениям арифметического дифференциального уравнения , где — арифметическая производная числа . Хосе Мария Грау ( José Maria Grau ) и Антонио Оллер-Марсен ( Antonio Oller-Marcén ) показали, что целое число является числом Джуги тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет арифметическому дифференциальному уравнению для некоторого целого .
См. также
Примечания
- последовательность в OEIS
Ссылки
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
- D. Borwein, J. M. Borwein, P. B. Borwein, R. Girgensohn. Giuga's Conjecture on Primality // American Mathematical Monthly . — 1996. — Т. 103 . — С. 40–50 . — doi : . 31 мая 2005 года.
- Giorgio Balzarotti, Paolo P. Lava. Centotre curiosità matematiche. — Milan: Hoepli Editore, 2010. — С. 129. — ISBN 978-88-203-4556-3 .
- 2021-05-27
- 1