Факторион — натуральное число , которое равно сумме факториалов своих цифр.

Полный список факторионов

• ${\displaystyle 1=1!}$
• ${\displaystyle 2=2!}$
• ${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$
• ${\displaystyle 40585=4!+0!+5!+8!+5!}$

Верхняя граница

Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.

Любое n-значное число не меньше ${\displaystyle \;10^{n-1}}$ . Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше ${\displaystyle 9!\cdot n}$ , где ${\displaystyle \;9!=362880}$ . Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально , а второе — линейно ), а уже ${\displaystyle 10^{8-1}=10000000>9!\cdot 8=2903040}$ . Следовательно все факторионы состоят не более, чем из 7 цифр.

Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).

Обобщения

В других системах счисления

Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной :

k-факторионы

k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.

Полные списки k-факторионов:

1. k=2: 817926
2. k=3: 138267, 1103790
3. k=4: 12, 32, 104, 23076
4. k=5: 10

Обобщения Пиковера

В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover ( 1995 ) предложил следующие обобщения:

1. Факторион второго рода — равен произведению факториалов своих цифр, например: abc = a !⋅ b !⋅ c !
2. Факторион третьего рода — равен сумме факториалов чисел, образованных группами цифр, например: abc = ( ab )! + c !

Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы второго рода в десятичной системе только вырожденные (1 и 2), найдено несколько факторионов третьего рода (жирным шрифтом выделены группы цифр):

• 2 432 90 2 0 08 177 819 519
• 51 090 94 2 1 71 710 544 079
• 51 090 94 2 1 71 710 982 398
• 403 291 461 1 26 605 635 584 809 043
• 403 291 461 1 26 605 635 584 814 796

Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.

Литература

• Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
• Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
• Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169–171 and 319—320, 1995.
• С. Л. Василенко. . — 2012.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• последовательность в OEIS