Поверхность Безье — параметрическая поверхность , используемая в компьютерной графике , автоматизированном проектировании, и моделировании. Это одно из распространённых пространственных обобщений кривой Безье .

При кусочном моделировании (patch modeling) для задания и изменения формы куска, представляющего собой пространственную решетку из сплайнов или многоугольников , применяется сеть контрольных точек. Эти точки управления, также известные как контрольные вершины (control vertices — CV) оказывают на гибкую поверхность куска подобное магнитному влияние, при котором поверхность растягивается в том или ином направлении. Кроме того, куски можно и дальше подразделять на элементы для достижения большего разрешения и «сшивать» друг с другом, тем самым создавая сложные объёмные поверхности. Так же, как и сплайновые, кусочные модели используются при создании органических форм.

Уравнение поверхности

Поверхность Безье порядка ${\displaystyle (n,m)}$ задаётся ${\displaystyle (n+1)\cdot (m+1)}$ контрольными точками ${\displaystyle \mathbf {P} _{i,j}}$ . Точки поверхности рассчитываются следующей параметризацией:

${\displaystyle \mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {P} _{i,j}}$ ,

где ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$ , а ${\displaystyle B}$ — многочлены Бернштейна :

${\displaystyle B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}\;u^{i}(1-u)^{n-i}}$

Наиболее часто используются бикубические поверхности Безье ${\displaystyle (n=m=3)}$ , задающиеся шестнадцатью контрольными точками.

Литература

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4 .
• от 28 сентября 2010 на Wayback Machine (англ.) — Библиотека функций Matlab и Fortran , позволяющая исследовать свойства Безье-поверхностей. Распространяется в соответствии с лицензией LGPL .

См. также

• Кривая Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Поверхность