Теорема Пойнтинга
(
англ.
Poynting's theorem
) — теорема, описывающая
закон сохранения энергии
электромагнитного поля
. Теорема была доказана в
1884
году Джоном Генри Пойнтингом
. Всё сводится к следующей формуле:
-
где
—
плотность энергии
:
;
-
—
электрическая постоянная
,
—
магнитная постоянная
;
-
—
оператор набла
;
S
—
вектор Пойнтинга
;
-
J
—
плотность тока
и
E
—
напряженность электрического поля
.
Теорема Пойнтинга в
интегральной
форме:
-
,
где
— поверхность, ограничивающая объём
.
В технической литературе теорема обычно записывается так (
— плотности энергии):
-
,
где
— плотность энергии электрического поля,
— плотность энергии
магнитного поля
и
—
мощность
джоулевых потерь
в единице объёма.
Вывод
Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε
0
и μ
0
приписать ε и μ):
-
Домножив обе части уравнения на
, получим:
-
Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:
-
Домножив обе части уравнения на
, получим:
-
Вычитая первое из второго, получим:
-
Наконец:
-
Поскольку
вектор Пойнтинга
определяется как:
-
это равносильно:
-
Обобщение
Механическая энергия описанной выше теоремы
-
где
u_m
— кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц
α
-
— поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:
-
Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии
-
Альтернативные формы
Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока
можно выбрать форму Авраама
, форму Минковского
, или какую-либо другую.