Interested Article - Теорема Пойнтинга

Теорема Пойнтинга ( англ. Poynting's theorem ) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля . Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом . Всё сводится к следующей формуле:

где плотность энергии : ;

электрическая постоянная , магнитная постоянная ;
оператор набла ; S вектор Пойнтинга ;
J плотность тока и E напряженность электрического поля .

Теорема Пойнтинга в интегральной форме:

,

где — поверхность, ограничивающая объём .

В технической литературе теорема обычно записывается так ( — плотности энергии):

,

где — плотность энергии электрического поля, — плотность энергии магнитного поля и мощность джоулевых потерь в единице объёма.

Вывод

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε 0 и μ 0 приписать ε и μ):

Домножив обе части уравнения на , получим:

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

Домножив обе части уравнения на , получим:

Вычитая первое из второго, получим:

Наконец:

Поскольку вектор Пойнтинга определяется как:

это равносильно:

Обобщение

Механическая энергия описанной выше теоремы

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

— поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

Альтернативные формы

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока можно выбрать форму Авраама , форму Минковского , или какую-либо другую.

Источник —

Same as Теорема Пойнтинга