Нильпотентный элемент — элемент кольца , некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии , так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии ( бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр .

Определение

Элемент x кольца R называется нильпотентным , если существует положительное целое число n , такое, что ${\displaystyle x^{n}=0}$ .

Минимальное значение ${\displaystyle n}$ , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента ${\displaystyle a}$ .

Примеры

• Это определение может быть применено, в частности, к квадратным матрицам . Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

нильпотентна, поскольку ${\displaystyle A^{3}=0}$ . Подробнее в статье Нильпотентная матрица .

• В факторкольце Z /9 Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 3 ² сравнимо с 0 по модулю 9.
• Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию ${\displaystyle ab=0}$ . Тогда элемент ${\displaystyle c=ba}$ нильпотентен, поскольку ${\displaystyle c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0}$ . Пример для матриц (в качестве a и b ):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Здесь ${\displaystyle AB=0,BA=B}$ .

• Кольцо содержит конус нильпотентных элементов.

• По определению любой элемент нильпотентен.

Свойства

• Никакой нильпотентный элемент не может быть обратимым (за исключением тривиального кольца {0}, который имеет единственный элемент 0 = 1 ). Все ненулевые нильпотентные элементы являются делителями нуля .

• Матрица A размером n -на- n с элементами из поля нильпотентна тогда и только тогда, когда её характеристический многочлен равен ${\displaystyle t^{n}}$ .

• Если элемент x нильпотентен, то ${\displaystyle 1-x}$ является обратимым элементом, поскольку из ${\displaystyle x^{n}=0}$ следует:

  ${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$

• Более общо, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца

Нильпотентные элементы коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ образуют идеал ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ , что является следствием бинома Ньютона . Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ этого кольца, поскольку ${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$ . Таким образом, ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент ${\displaystyle x}$ не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней ${\displaystyle x}$ : ${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$ , чтобы получить ненулевое кольцо ${\displaystyle S^{-1}R}$ . Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle R}$ с ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$ . Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал , который является простым, любой ненильпотентный элемент ${\displaystyle x}$ не содержится в некотором простом идеале. Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ является в точности пересечением всех простых идеалов .

Характеристика, подобная и аннигиляции простых модулей , доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R . Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — Алгебра Ли . Тогда элемент ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется нильпотентным, если он в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ и ${\displaystyle \operatorname {ad} x}$ является нильпотентным преобразованием. См. также .

Нильпотентность в физике

Операнд Q , удовлетворяющий условию ${\displaystyle Q^{2}=0}$ нильпотентен. , которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям , являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике .

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру , а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения . Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , такой, что ${\displaystyle Q^{n}=0}$ (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ${\displaystyle n=2}$ ). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса как показал Эдвард Виттен в признанной статье .

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах . Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа .

Алгебраические нильпотенты

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают (кокватернионы), , бикватернионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ и комплексные октанионы ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$ .

См. также

• Идемпотентный элемент
• Унипотентный элемент

Примечания

Литература