Теорема Мергеляна — утверждение о возможности равномерного приближения многочленами функций комплексной переменной ; установлено доказано советским математиком Сергеем Мергеляном в 1951 году .

Согласно теореме, всякую непрерывную функцию ${\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} }$ на компакте ${\displaystyle K}$ со связным дополнением до комплексной плоскости (то есть ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ — связно), голоморфную на внутренних точках ${\displaystyle K}$ , возможно равномерно аппроксимировать многочленами .

Теорема является развитием и обобщением теорем Вейерштрасса и Рунге , и широко применяется в различных направлениях комплексного анализа ; этот результат увенчал большой цикл работ по теории приближения в комплексном случае. В частности, Лаврентьев в 1936 году доказал утверждение для случая, когда ${\displaystyle K}$ не имеет внутренних точек, а в 1945 году Келдыш установил результат для случая, когда ${\displaystyle K}$ является замкнутой областью со связным дополнением.

Метод доказательства, применённый Мергеляном, конструктивен , и остаётся единственным известным конструктивным доказательством результата.

Литература

• Мергеляна теорема — статья из Математической энциклопедии . Е. М. Чирка
• С. Н. Мергелян. // УМН. — Т. 7 , № 2 (48) . — С. 31—122 .
• Lennart Carleson. Mergelyan’s theorem on uniform polynomial approximation (англ.) // Math. Scand. — 1964. — Vol. 15 .
• Dieter Gaier. Lectures on Complex Approximation. — Boston: Birkhäuser, 1987. — ISBN 0-8176-3147-X .
• W. Rudin. . — N. Y. : McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-054234-1 .
• А. Г. Витушкин . // УМН . — 1967. — Т. 22 , № 6 (138) .
• А. Г. Витушкин. // УМН. — 2002. — Т. 57 , № 1 (353) .