Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — преобразование , которое является обратным самому себе. Часто дополнительно предполагается, что инволюция — это нетождественное отображение .

Определение

Функция ${\displaystyle f\colon X\to X}$ называется инволюцией, если ${\displaystyle f(f(x))=x}$ для всякого ${\displaystyle x\in X}$ .

Свойства

• Любая инволюция — это биекция .

• Композиция ${\displaystyle {f}\circ {g}}$ двух инволюций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: ${\displaystyle {f}\circ {g}=g\circ f}$ .

Примеры

• ${\displaystyle f(x)=-x}$ , заданная на множестве целых ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , рациональных ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ или вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ;
• простейшие инволюции на множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

  ${\displaystyle {\dfrac {a}{x}}}$ , ${\displaystyle a-x}$ , ${\displaystyle {\dfrac {x}{x-1}}}$ , ${\displaystyle {\dfrac {x+1}{x-1}}}$ , ${\displaystyle {\dfrac {x-1}{x+1}}}$ , ${\displaystyle {\dfrac {ax+b}{cx-a}}}$ ;

• ${\displaystyle f(x)={\bar {x}}}$ — дополнение множества , заданная для подмножеств некоторого универсального множества ${\displaystyle U}$ ;
• ${\displaystyle f(x)=\neg x}$ — логическое отрицание булевой алгебры ;
• Среди движений плоскости есть два типа нетривиальных инволюций: центральная и зеркальная симметрии .
  • Таким образом инволюции соответствуют прямым и точкам — основным объектам планиметрии. На этом наблюдении основана аксиоматика Бахмана .
• инверсия ;
• комплексное сопряжение ;
• преобразование Лежандра
• Перестановка ${\displaystyle \tau }$ является инволюцией, если ${\displaystyle \tau \circ \tau =id}$ , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)}$ .

  • Число инволюций в группе перестановок порядка ${\displaystyle n}$ определяется по формулам:

    ${\displaystyle a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1}$ (рекуррентная формула),

    ${\displaystyle a(n)=\sum _{k=0}^{[n/2]}{\frac {n!}{2^{k}\cdot (n-2k)!\cdot k!}}}$ ,

(первые значения ${\displaystyle a(n)}$ : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35 696, 140 152 ).

Примечания