Выпуклая кривая — кривая на евклидовой плоскости , которая лежит по одну сторону от любой касательной прямой.

Граница ограниченного выпуклого множества всегда является выпуклой кривой.

Определения

Определение с помощью опорных прямых

Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости , в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$ , кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$ », если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой , если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой . Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.

Определение с помощью выпуклых множеств

Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости . Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек) .

Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая

Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков . Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках , или простая замкнутая кривая в , что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.

Свойства

Любая выпуклая кривая имеет хорошо определённую конечную длину . Таким образом, выпуклая кривая является подмножеством спрямляемых кривых .

Согласно теореме о четырёх вершинах любая кривая имеет по меньшей мере четыре вершины , точки, в которых достигается локальный минимум или максимум кривизны .

Параллельные касательные

Замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой ${\displaystyle C}$ , таких, что касательные в этих точках параллельны.

Монотонность угла наклона

Кривая называется простой , если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая ${\displaystyle C}$ выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой .

Связанные фигуры

Гладкие выпуклые кривые с осевой симметрией иногда называют овалами . Однако в конечной проективной геометрии определяются как множества, в которых любая точка имеет единственную касательную, что в евклидовой геометрии верно в случае гладких строго выпуклых замкнутых кривых.

См. также

Примечания