Interested Article - Список моделей многогранников Веннинджера

lauretta
  • 2021-07-24
  • 1

В данной статье содержится список таких однородных многогранников и звёздчатых многогранников , которые упоминаются в книге « Модели многогранников » Магнуса Веннинджера .

Книга « Модели многогранников » Веннинджера — руководство по построению физических (например, бумажных) моделей многогранников. Книга содержит короткое описание связанной с многогранниками теории, чертежи элементов граней многогранников, рекомендации по построению моделей многогранников. Книга описывает модели непризматических однородных многогранников всех (75-и) видов однородных многогранников и модели 44-х звёздчатых форм выпуклых правильных и полуправильных многогранников (всего — 75+44 = 119).

Список создан как дань уважения работе Веннинджера и для предоставления возможности создания ссылок на 119 пронумерованных в книге моделей.

Пусть N — номер описаной в книге модели. Тогда, чтобы поставить ссылку на описанную в книге модель, укажите либо текст вида «модель Веннинджера номер N », либо текст вида W N , где W — первая буква фамилии Веннинджера ( англ. Wenninger ).

Многогранники перечислены в пяти таблицах:

  1. правильные многогранники (от W 1 до W 5 );
  2. полуправильные многогранники (от W 6 до W 18 );
  3. правильные звёздчатые многогранники (W 20 , W 21 , W 22 , W 41 );
  4. звёздчатые формы многогранников и соединения многогранников (от W 19 до W 66 );
  5. однородные звёздчатые многогранники (от W 67 до W 119 ).

Четыре правильных звёздчатых многогранника приведены дважды, поскольку принадлежат и однородным многогранникам, и звёздчатым формам .

Правильные многогранники (плато́новы тела) (модели от W 1 до W 5 )

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
1 Тетраэдр Тетраэдр 3|2 3
{3,3} 		T d U01 K06 4 6 4 4{3}
2 Октаэдр Гексаэдр 4|2 3
{3,4} 		O h U05 K10 6 12 8 8{3}
3 Гексаэдр ( Куб ) Октаэдр 3|2 4
{4,3} 		O h U06 K11 8 12 6 6{4}
4 Икосаэдр Додекаэдр 5|2 3
{3,5} 		I h U22 K27 12 30 20 20{3}
5 Додекаэдр Икосаэдр 3|2 5
{5,3} 		I h U23 K28 20 30 12 12{5}

Архимедовы тела (полуправильные) (модели от W 6 до W 18 )

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
6 Усечённый тетраэдр триакистетраэдр Triakis tetrahedron 2 3|3
3.6.6 		T d U02 K07 12 18 8 4{3} + 4{6}
7 Усечённый октаэдр тетракисгексаэдр Tetrakis hexahedron 2 4|3
4.6.6 		O h U08 K13 24 36 14 6{4} + 8{6}
8 Усечённый гексаэдр триакисоктаэдр Triakis octahedron 2 3|4
3.8.8 		O h U09 K14 24 36 14 8{3} + 6{8}
9 Усечённый икосаэдр пентакисдодекаэдр Pentakis dodecahedron 2 5|3
5.6.6 		I h U25 K30 60 90 32 12{5} + 20{6}
10 Усечённый додекаэдр триакисикосаэдр Triakis icosahedron 2 3|5
3.10.10 		I h U26 K31 60 90 32 20{3} + 12{10}
11 Кубооктаэдр ромбододекаэдр Rhombic dodecahedron 2|3 4
3.4.3.4 		O h U07 K12 12 24 14 8{3} + 6{4}
12 Икосододекаэдр ромботриаконтаэдр Rhombic triacontahedron 2|3 5
3.5.3.5 		I h U24 K29 30 60 32 20{3} + 12{5}
13 Ромбокубооктаэдр дельтоидальный икоситетраэдр Deltoidal icositetrahedron 3 4|2
3.4.4.4 		O h U10 K15 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
14 Ромбоикосидодекаэдр дельтоидальный гексеконтаэдр Deltoidal hexecontahedron 3 5|2
3.4.5.4 		I h U27 K32 60 120 62 20{3} + 30{4} + 12{5}
15 Усечённый кубооктаэдр
(Большой ромбокубооктаэдр) 		Гекзакисоктаэдр Disdyakis dodecahedron 2 3 4|
4.6.8 		O h U11 K16 48 72 26 12{4} + 8{6} + 6{8}
16 Ромбоусечённый икосододекаэдр
(Большой ромбоикосододекаэдр) 		Гекзакисикосаэдр Disdyakis triacontahedron 2 3 5|
4.6.10 		I h U28 K33 120 180 62 30{4} + 20{6} + 12{10}
17 Плосконосый куб пятиугольный икосотетраэдр Pentagonal icositetrahedron |2 3 4
3.3.3.3.4 		O U12 K17 24 60 38 (8 + 24){3} + 6{4}
18 Плосконосый додекаэдр пятиугольный гексаконтаэдр Pentagonal hexecontahedron |2 3 5
3.3.3.3.5 		I U29 K34 60 150 92 (20 + 60){3} + 12{5}

Тела Кеплера — Пуансо (правильные звёздчатые многогранники ) (модели W 20 , W 21 , W 22 и W 41 )

Номер Название Рисунок Имя двойственного Рисунок двойственного Вершинная фигура
и символ Шлефли 		Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
20 Малый звёздчатый додекаэдр Большой додекаэдр 5|2 5 / 2
{ 5 / 2 ,5} 		I h U34 K39 12 30 12 12{ 5 / 2 }
21 Большой додекаэдр Малый звёздчатый додекаэдр 5 / 2 |2 5
{5, 5 / 2 } 		I h U35 K40 12 30 12 12{5}
22 Большой звёздчатый додекаэдр Большой икосаэдр 3|2 5 / 2
{ 5 / 2 ,3} 		I h U52 K57 20 30 12 12{ 5 / 2 }
41 Большой икосаэдр
(16-я звёздчатая форма икосаэдра) 		Большой звёздчатый додекаэдр 5 / 2 |2 3
{3, 5 / 2 } 		I h U53 K58 12 30 20 20{3}

Звёздчатые многогранники (модели от W 19 до W 66 )

Звёздчатый октаэдр

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
2 Октаэдр
(правильный) 		O h
19 Звёздчатый октаэдр
(Соединение двух тетраэдров) 		O h

Звёздчатые формы додекаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
5 Додекаэдр (правильный) I h
20 Малый звёздчатый додекаэдр (правильный)
(1-я звёздчатая форма додекаэдра) 		I h
21 Большой додекаэдр (правильный)
(2-я звёздчатая форма додекаэдра) 		I h
22 Большой звёздчатый додекаэдр (правильный)
(3-я звёздчатая форма додекаэдра) 		I h

Звёздчатые формы икосаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани
4 Икосаэдр (правильный) I h
23 Соединение пяти октаэдров
(1-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		I h
24 Соединение пяти тетраэдров
(2-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		I
25
(3-я составная форма звёздчатого икосаэдра) 		I h
26 Малый триамбический икосаэдр
(1-я звёздчатая форма икосаэдра)
( Триакисикосаэдр ) 		I h
27 I h
28
(3-я звёздчатая форма икосаэдра) 		I h
29 4-я звёздчатая форма икосаэдра I h
30 5-я звёздчатая форма икосаэдра I h
31 6-я звёздчатая форма икосаэдра I h
32 7-я звёздчатая форма икосаэдра I h
33 8-я звёздчатая форма икосаэдра I h
34
Большой триамбикикосаэдр
(9-я звёздчатая форма икосаэдра) 		I h
35 10-я звёздчатая форма икосаэдра I
36 11-я звёздчатая форма икосаэдра I
37 12-я звёздчатая форма икосаэдра I h
38 13-я звёздчатая форма икосаэдра I
39 14-я звёздчатая форма икосаэдра I
40 15-я звёздчатая форма икосаэдра I
41 Большой икосаэдр (правильный)
(16-я звёздчатая форма икосаэдра) 		I h
42 Ехиднаэдр
(Завершающая, 17-я звёздчатая форма икосаэдра) 		I h

Звёздчатые формы кубооктаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (октаэдральные плоскости) Грани (кубические плоскости)
11 Кубооктаэдр (правильный) O h
43
(1-я звёздчатая форма кубооктаэдра) 		O h
44 2-я звёздчатая форма кубооктаэдра O h
45 3-я звёздчатая форма кубооктаэдра O h
46 4-я звёздчатая форма кубооктаэдра O h

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Номер Название Группа симметрии Рисунок Грани (икосоэдральные плоскости) Грани (додекаэдральные плоскости)
12 Икосододекаэдр
(правильный) 		I h
47 1-я звёздчатая форма икосододекаэдра
I h
48 2-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
49 3-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
50 4-я звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и триакисикосаэдра) 		I h
51 5-я звёздчатая форма икосододекаэдра
( Соединение малого звёздчатого додекаэдра
и пяти октаэдров) 		I h
52 6-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
53 7-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
54 8-я звёздчатая форма икосододекаэдра
(Соединение пяти тетраэдров
и большого додекаэдра) 		I
55 9-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
56 10-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
57 11-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
58 12-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
59 13-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
60 14-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
61 I h
62 15-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
63 16-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
64 17-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
65 18-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h
66 19-я звёздчатая форма икосододекаэдра I h

Однородные невыпуклые тела (модели от W 67 до W 119 )

Номер Название Рисунок Название
двойственного 		Рисунок двойственного Вершинная фигура Группа симметрии U# K# V E F Грани по типам
67 Тетрагемигексаэдр 3 / 2 3|2
4. 3 / 2 .4.3 		T d U04 K09 6 12 7 4{3}+3{4}
68 3 / 2 3|3
6. 3 / 2 .6.3 		O h U03 K08 12 24 12 8{3}+4{6}
69 3 / 2 4|4
8. 3 / 2 .8.4 		O h U13 K18 24 48 20 8{3}+6{4}+6{8}
70 Малый триамбический икосаэдр 3| 5 / 2 3
( 5 / 2 .3) 3 		I h U30 K35 20 60 32 20{3}+12{ 5 / 2 }
71 5 / 2 3|3
6. 5 / 2 .6.3 		I h U31 K36 60 120 52 20{3}+12{ 5 / 2 }+20{6}
72 3 / 2 5|5
10. 3 / 2 .10.5 		I h U33 K38 60 120 44 20{3}+12{5}+12{10}
73 Додекододекаэдр 2| 5 / 2 5
( 5 / 2 .5) 2 		I h U36 K41 30 60 24 12{5}+12{ 5 / 2 }
74 2 5 / 2 5|
10.4. 10 / 9 . 4 / 3 		I h U39 K44 60 120 42 30{4}+12{10}
75 2 5 / 2 |5
10.10. 5 / 2 		I h U37 K42 60 90 24 12{ 5 / 2 }+12{10}
76 5 / 2 5|2
4. 5 / 2 .4.5 		I h U38 K43 60 120 54 30{4}+12{5}+12{ 5 / 2 }
77 3 4| 4 / 3
8 / 3 .3. 8 / 3 .4 		O h U14 K19 24 48 20 8{3}+6{4}+6{ 8 / 3 }
78 4 / 3 4|3
6. 4 / 3 .6.4 		O h U15 K20 12 24 10 6{4}+4{6}
79
(Кубооктаусечённый кубооктаэдр) 		4 / 3 3 4|
8 / 3 .6.8 		O h U16 K21 48 72 20 8{6}+6{8}+6{ 8 / 3 }
80 ↗ Перенаправить на Большой триамбикикосаэдр 3| 5 / 3 5
( 5 / 3 .5) 3 		I h U41 K46 20 60 24 12{5}+12{ 5 / 2
81 3 5| 5 / 3
10 / 3 .3. 10 / 3 .5 		I h U42 K47 60 120 44 20{3}+12{5}+12{ 10 / 3 }
82 5 / 3 3|5
10. 5 / 3 .10.3 		I h U43 K48 60 120 44 20{3}+12{ 5 / 2 }+12{10}
83 5 / 3 5|3
6. 5 / 3 .6.5 		I h U44 K49 60 120 44 12{5}+12{ 5 / 2 }+20{6}
84
(Икосододекоусечённый икосододекаэдр) 		5 / 3 3 5|
10 / 3 .6.10 		I h U45 K50 120 180 44 20{6}+12{10}+12{ 10 / 3 }
85
(Квазиромбокубооктаэдр) 		3 / 2 4|2
4. 3 / 2 .4.4 		O h U17 K22 24 48 26 8{3}+(6+12){4}
86 3 / 2 2 4|
4.8. 4 / 3 .8 		O h U18 K23 24 48 18 12{4}+6{8}
87 Большой триамбикикосаэдр 3 / 2 |3 5
(5.3.5.3.5.3)/ 2 		I h U47 K52 20 60 32 20{3}+12{5}
88 3 / 2 5|3
6. 3 / 2 .6.5 		I h U48 K53 60 120 52 20{3}+12{5}+20{6}
89 3 / 2 3|5
10. 3 / 2 .10.3 		I h U49 K54 30 60 26 20{3}+6{10}
90 3 / 2 3 5|
10.6. 10 / 9 . 6 / 5 		I h U50 K55 60 120 32 20{6}+12{10}
91 5 / 4 5|5
10. 5 / 4 .10.5 		I h U51 K56 30 60 18 12{5}+6{10}
92
(Квазиусечённый гексаэдр) 		2 3| 4 / 3
8 / 3 . 8 / 3 .3 		O h U19 K24 24 36 14 8{3}+6{ 8 / 3 }
93
(Квазиусечённый кубооктаэдр) 		4 / 3 2 3|
8 / 3 .4.6 		O h U20 K25 48 72 26 12{4}+8{6}+6{ 8 / 3 }
94 Большой икосододекаэдр Большой ромбический тридцатигранник 2| 5 / 2 3
( 5 / 2 .3) 2 		I h U54 K59 30 60 32 20{3}+12{ 5 / 2 }
95 2 5 / 2 |3
6.6. 5 / 2 		I h U55 K60 60 90 32 12{ 5 / 2 }+20{6}
96 2 5 / 2 3|
6.4. 6 / 5 . 4 / 3 		I h U56 K61 60 120 50 30{4}+20{6}
97
(Квазиусечённый звёздчатый додекаэдр) 		2 5| 5 / 3
10 / 3 . 10 / 3 .5 		I h U58 K63 60 90 24 12{5}+12{ 10 / 3 }
98
(Квазиусечённый додекаэдр) 		5 / 3 2 5|
10 / 3 .4.10 		I h U59 K64 120 180 54 30{4}+12{10}+12{ 10 / 3 }
99 5 / 2 3| 5 / 3
10 / 3 . 5 / 2 . 10 / 3 .3 		I h U61 K66 60 120 44 20{3}+12{ 5 / 2 }+12{ 10 / 3 }
100 5 / 3 5 / 2 |3
6. 5 / 3 .6. 5 / 2 		I h U62 K67 30 60 22 12{ 5 / 2 }+10{6}
101 5 / 3 5 / 2 3|
6. 10 / 3 . 6 / 5 . 10 / 7 		I h U63 K68 60 120 32 20{6}+12{ 10 / 3 }
102 5 / 4 5|3
6. 5 / 4 .6.5 		I h U65 K70 30 60 22 12{5}+10{6}
103 Большой ромбогексаэдр Большой ромбогексакрон 4 / 3 3 / 2 2|
4. 8 / 3 . 4 / 3 . 8 / 5 		O h U21 K26 24 48 18 12{4}+6{ 8 / 3 }
104
(Квазиусечённый большой звёздчатый додекаэдр) 		2 3| 5 / 3
10 / 3 . 10 / 3 .3 		I h U66 K71 60 90 32 20{3}+12{ 10 / 3 }
105
(Квазиромбоикосододекаэдр) 		5 / 3 3|2
4. 5 / 3 .4.3 		I h U67 K72 60 120 62 20{3}+30{4}+12{ 5 / 2 }
106 3 3| 5 / 3
10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 .3 		I h U71 K76 30 60 26 20{3}+6{ 10 / 3 }
107 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3
10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 . 5 / 2 		I h U70 K75 30 60 18 12{ 5 / 2 }+6{ 10 / 3 }
108
(Большой квазиусечённый икосододекаэдр) 		5 / 3 2 3|
10 / 3 .4.6 		I h U68 K73 120 180 62 30{4}+20{6}+12{ 10 / 3 }
109 3 / 2 5 / 3 2|
4. 10 / 3 . 4 / 3 . 10 / 7 		I h U73 K78 60 120 42 30{4}+12{ 10 / 3 }
110 | 5 / 2 3 3
3.3.3.3.3. 5 / 2 		I h U32 K37 60 180 112 (40+60){3}+12{ 5 / 2 }
111 |2 5 / 2 5
3.3. 5 / 2 .3.5 		I U40 K45 60 150 84 60{3}+12{5}+12{ 5 / 2 }
112 | 5 / 3 3 5
3.3.3.3.5. 5 / 3 		I U46 K51 60 180 104 (20+6){3}+12{5}+12{ 5 / 2 }
113 | 5 / 3 2 3
3.3.3.3. 5 / 3 		I U69 K74 60 150 92 (20+60){3}+12{ 5 / 2 }
114 | 5 / 3 2 5
3. 5 / 3 .3.3.5 		I U60 K65 60 150 84 60{3}+12{5}+12{ 5 / 2 }
115 | 5 / 3 5 / 2 3
3. 5 / 3 .3. 5 / 2 .3.3 		I U64 K69 60 180 104 (20+60){3}+(12+12){ 5 / 2 }
116 |2 5 / 2 5 / 2
3.3.3.3. 5 / 2 		I U57 K62 60 150 92 (20+60){3}+12{ 5 / 2 }
117 Большой вывернутый обратноплосконосый икосододекаэдр | 3 / 2 5 / 3 2
(3.3.3.3. 5 / 2 )/ 2 		I U74 K79 60 150 92 (20+60){3}+12{ 5 / 2 }
118 | 3 / 2 3 / 2 5 / 2
(3.3.3.3.3. 5 / 2 )/ 2 		I h U72 K77 180 60 112 (40+60){3}+12{ 5 / 2 }
119 | 3 / 2 5 / 3 3 5 / 2
(4. 5 / 3 .4.3.4. 5 / 2 .4. 3 / 2 )/ 2 		I h U75 K80 60 240 124 40{3}+60{4}+24{ 5 / 2 }

См. также

Литература

  • М. Веннинджер. Модели многогранников. — «Мир», 1974.
    Ошибки в книге Веннинджера. Для многогранника W 90 вершинная фигура ошибочно показана как имеющая параллельные рёбра. Для многогранника W 106 даны неверные чертежи заготовок, вследствие чего в получаемой модели отсутствуют некоторые видимые части однородного многогранника.
  • Magnus Wenninger. . — Cambridge University Press, 1979. — ISBN 0-521-29432-0 .

Ссылки

  • Для создания изображений для этой статьи использовалось следующее ПО :
    • - ПО, способное создать и распечатать nets для всех многогранников, упомянутых в книге Веннинджера;
    • — аплет Владимира Булатова;
    • — аплет Владимира Булатова, оформленный в виде пакета для OS X.
  • — ошибки, найденные в разных изданиях.
Источник —

lauretta
  • 2021-07-24
  • 1
  • Tags:

Same as Список моделей многогранников Веннинджера

The title for the last searches