Точечная группа в трёхмерном пространстве

C s , (*) [ ] =	C nv , (*nn) [n] =	D nh , (*n22) [n,2] =
Группы многогранников , [n,3], (*n32)
Тетраэдральная симметрия T d , (*332) [3,3] =	O h , (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия I h , (*532) [5,3] =

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве , однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая , циклическая , тетраэдральная симметрия , и икосаэдральная симметрия .

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса , , и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов , с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию .

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии , 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 .

Симметрии-инволюции

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями : тождественное преобразование (C ₁ ), зеркальная симметрия (C _s ), вращательная симметрия (C ₂ ), и центральная симметрия (C _i ).

Инт. Геом. Шёнф. Конвей Пор. Фунд. область 1 1 11 C 1 C 1 ][ [ ] + 1 2 2 22 D 1 = C 2 D 2 = C 2 [2] + 2

Инт. Геом. Ориб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 1 22 × C i = S 2 CC 2 [2 + ,2 + ] 2 2 = m 1 * C s = C 1v = C 1h ±C 1 = CD 2 [ ] 2

Циклическая симметрия

Существуют четыре бесконечных семейства с n =2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии )

Инт. Гео Шёнф. Конвей. Пор. Фунд. область 2 2 22 C 2 = D 1 C 2 = D 2 [2] + [2,1] + 2 mm2 2 *22 C 2v = D 1h CD 4 = DD 4 [2] [2,1] 4 4 42 2× S 4 CC 4 [2 + ,4 + ] 4 2/m 2 2 2* C 2h = D 1d ±C 2 = ±D 2 [2,2 + ] [2 + ,2] 4

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 3 4 5 6 n 3 4 5 6 n 33 44 55 66 nn C 3 C 4 C 5 C 6 C n C 3 C 4 C 5 C 6 C n [3] + [4] + [5] + [6] + [n] + 3 4 5 6 n 3m 4mm 5m 6mm - 3 4 5 6 n *33 *44 *55 *66 *nn C 3v C 4v C 5v C 6v C nv CD 6 CD 8 CD 10 CD 12 CD 2n [3] [4] [5] [6] [n] 6 8 10 12 2n 3 8 5 12 - 62 82 10.2 12.2 2n.2 3× 4× 5× 6× n× S 6 S 8 S 10 S 12 S 2n ±C 3 CC 8 ±C 5 CC 12 CC 2n / ±C n [2 + ,6 + ] [2 + ,8 + ] [2 + ,10 + ] [2 + ,12 + ] [2 + ,2n + ] 6 8 10 12 2n 3/m= 6 4/m 5/m= 10 6/m n/m 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 3* 4* 5* 6* n* C 3h C 4h C 5h C 6h C nh CC 6 ±C 4 CC 10 ±C 6 ±C n / CC 2n [2,3 + ] [2,4 + ] [2,5 + ] [2,6 + ] [2,n + ] 6 8 10 12 2n

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства с с n равным 2 и выше. ( n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт. Геом. Шёнф. Конвей Пор. Фунд. область 222 2 . 2 222 D 2 D 4 [2,2] + 4 4 2m 4 2 2*2 D 2d DD 8 [2 + ,4] 8 mmm 22 *222 D 2h ±D 4 [2,2] 8

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 32 422 52 622 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 n . 2 223 224 225 226 22n D 3 D 4 D 5 D 6 D n D 6 D 8 D 10 D 12 D 2n [2,3] + [2,4] + [2,5] + [2,6] + [2,n] + 6 8 10 12 2n 3 m 8 2m 5 m 12 .2m 6 2 8 2 10. 2 12. 2 n 2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n D 3d D 4d D 5d D 6d D nd ±D 6 DD 16 ±D 10 DD 24 DD 4n / ±D 2n [2 + ,6] [2 + ,8] [2 + ,10] [2 + ,12] [2 + ,2n] 12 16 20 24 4n 6 m2 4/mmm 10 m2 6/mmm 32 42 52 62 n2 *223 *224 *225 *226 *22n D 3h D 4h D 5h D 6h D nh DD 12 ±D 8 DD 20 ±D 12 ±D 2n / DD 4n [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] 12 16 20 24 4n

Симметрии многогранников

Существует три типа : тетраэдральная симметрия , и икосаэдральная симметрия , названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия Инт. Геом. Шёнф. Конвей Пор. Фунд. область 23 3 . 3 332 T T [3,3] + = [4,3 + ] + 12 m 3 4 3 3*2 T h ±T [4,3 + ] 24 4 3m 33 *332 T d TO [3,3] = [1 + ,4,3] 24

Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 432 4 . 3 432 O O [4,3] + = [[3,3]] + 24 m 3 m 43 *432 O h ±O [4,3] = [[3,3]] 48 Икосаэдральная симметрия Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд. область 532 5 . 3 532 I I [5,3] + 60 53 2/m 53 *532 I h ±I [5,3] 120

См. также

• Кристаллографическая точечная группа симметрии
• Группа треугольника

Примечания

Литература

• Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
• Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // . — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. . — ISBN 0-486-67839-3 .

• Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-517-7 .
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
• H.S.M. Coxeter . Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
• , J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514 .

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• , by David I. McCooey