Interested Article - Список групп сферической симметрии

Точечная группа в трёхмерном пространстве


C s , (*)
[ ] = node_c2


C nv , (*nn)
[n] = node_c1 n node_c1


D nh , (*n22)
[n,2] = node_c1 n node_c1 2 node_c1
Группы многогранников , [n,3], (*n32)

Тетраэдральная симметрия
T d , (*332)
[3,3] = node_c1 3 node_c1 3 node_c1


O h , (*432)
[4,3] = node_c2 4 node_c1 3 node_c1

Икосаэдральная симметрия
I h , (*532)
[5,3] = node_c2 5 node_c2 3 node_c2

Группы сферической симметрии также называются точечными группами в трёхмерном пространстве , однако эта статья рассматривает только конечные симметрии. Существует пять фундаментальных классов симметрии, которыми обладают треугольные фундаментальные области: диэдрическая , циклическая , тетраэдральная симметрия , и икосаэдральная симметрия .

Статья перечисляет группы согласно символам Шёнфлиса , , и порядка. Конвей использовал вариант записи Шёнфлиса, основанном на алгебраической структуре группы кватернионов , с обозначениями одной или двумя заглавными буквами и полным набором нижних числовых индексов. Порядок группы обозначается индексом, если только он не удваивается символом плюс-минус ("±"), который подразумевает центральную симметрию .

Символика Германа — Могена (интернациональная запись) приводится также. Группы кристаллографии , 32 в общем числе, являются подмножеством с элементами порядка 2, 3, 4 и 6 .

Симметрии-инволюции

Имеется четыре симметрии, которые являются обратными себе, т.е. инволюциями : тождественное преобразование (C 1 ), зеркальная симметрия (C s ), вращательная симметрия (C 2 ), и центральная симметрия (C i ).

Инт. Геом.
Шёнф. Конвей Пор. Фунд.
область
1 1 11 C 1 C 1 ][
[ ] +
1
2 2 22 D 1
= C 2
D 2
= C 2
[2] + 2
Инт. Геом. Ориб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
1 22 × C i
= S 2
CC 2 [2 + ,2 + ] 2
2
= m
1 * C s
= C 1v
= C 1h
±C 1
= CD 2
[ ] 2

Циклическая симметрия

Существуют четыре бесконечных семейства с n =2 и выше. (n может быть равен 1 как особый случай нет симметрии )

Инт. Гео
Шёнф. Конвей. Пор. Фунд.
область
2 2 22 C 2
= D 1
C 2
= D 2
[2] +
[2,1] +
2
mm2 2 *22 C 2v
= D 1h
CD 4
= DD 4
[2]
[2,1]
4
4 42 S 4 CC 4 [2 + ,4 + ] 4
2/m 2 2 2* C 2h
= D 1d
±C 2
= ±D 2
[2,2 + ]
[2 + ,2]
4
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
3
4
5
6
n
3
4
5
6
n
33
44
55
66
nn
C 3
C 4
C 5
C 6
C n
C 3
C 4
C 5
C 6
C n
[3] +
[4] +
[5] +
[6] +
[n] +
3
4
5
6
n
3m
4mm
5m
6mm
-
3
4
5
6
n
*33
*44
*55
*66
*nn
C 3v
C 4v
C 5v
C 6v
C nv
CD 6
CD 8
CD 10
CD 12
CD 2n
[3]
[4]
[5]
[6]
[n]
6
8
10
12
2n
3
8
5
12
-
62
82
10.2
12.2
2n.2




S 6
S 8
S 10
S 12
S 2n
±C 3
CC 8
±C 5
CC 12
CC 2n / ±C n
[2 + ,6 + ]
[2 + ,8 + ]
[2 + ,10 + ]
[2 + ,12 + ]
[2 + ,2n + ]
6
8
10
12
2n
3/m= 6
4/m
5/m= 10
6/m
n/m
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2
3*
4*
5*
6*
n*
C 3h
C 4h
C 5h
C 6h
C nh
CC 6
±C 4
CC 10
±C 6
±C n / CC 2n
[2,3 + ]
[2,4 + ]
[2,5 + ]
[2,6 + ]
[2,n + ]
6
8
10
12
2n

Диэдральная симметрия

Существует три бесконечных семейства с с n равным 2 и выше. ( n может быть равен 1 как специальный случай)

Инт. Геом. Шёнф. Конвей Пор. Фунд.
область
222 2 . 2 222 D 2 D 4 [2,2] + 4
4 2m 4 2 2*2 D 2d DD 8 [2 + ,4] 8
mmm 22 *222 D 2h ±D 4 [2,2] 8
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
32
422
52
622
3 . 2
4 . 2
5 . 2
6 . 2
n . 2
223
224
225
226
22n
D 3
D 4
D 5
D 6
D n
D 6
D 8
D 10
D 12
D 2n
[2,3] +
[2,4] +
[2,5] +
[2,6] +
[2,n] +
6
8
10
12
2n
3 m
8 2m
5 m
12 .2m
6 2
8 2
10. 2
12. 2
n 2
2*3
2*4
2*5
2*6
2*n
D 3d
D 4d
D 5d
D 6d
D nd
±D 6
DD 16
±D 10
DD 24
DD 4n / ±D 2n
[2 + ,6]
[2 + ,8]
[2 + ,10]
[2 + ,12]
[2 + ,2n]
12
16
20
24
4n
6 m2
4/mmm
10 m2
6/mmm
32
42
52
62
n2
*223
*224
*225
*226
*22n
D 3h
D 4h
D 5h
D 6h
D nh
DD 12
±D 8
DD 20
±D 12
±D 2n / DD 4n
[2,3]
[2,4]
[2,5]
[2,6]
[2,n]
12
16
20
24
4n

Симметрии многогранников

Существует три типа : тетраэдральная симметрия , и икосаэдральная симметрия , названные по правильным многогранникам с треугольными гранями, которые обладают такими симметриями.

Тетраэдральная симметрия
Инт. Геом. Шёнф. Конвей Пор. Фунд.
область
23 3 . 3 332 T T [3,3] +
= [4,3 + ] +
12
m 3 4 3 3*2 T h ±T [4,3 + ] 24
4 3m 33 *332 T d TO [3,3]
= [1 + ,4,3]
24
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
432 4 . 3 432 O O [4,3] +
= [[3,3]] +
24
m 3 m 43 *432 O h ±O [4,3]
= [[3,3]]
48
Икосаэдральная симметрия
Инт. Геом. Орб. Шёнф. Конвей Кокс. Пор. Фунд.
область
532 5 . 3 532 I I [5,3] + 60
53 2/m 53 *532 I h ±I [5,3] 120

См. также

Примечания

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. .

Литература

  • Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), Appendix I
  • Donald E. Sands. Crystal Systems and Geometry // . — Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 1993. — С. . — ISBN 0-486-67839-3 .
  • Джон Х. Конвей, Дерек А. Смит. О кватернионах и октавах = On Quaternions and Octonions. — Москва: МЦНМО, 2009. — ISBN 978-5-94057-517-7 .
  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
  • H.S.M. Coxeter . Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6 .
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.
  • , J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics. — 2007. — Вып. 48, 023514 .

Внешние ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • , by David I. McCooey
Источник —

Same as Список групп сферической симметрии