Кубоокта́эдр или кубокта́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 квадратов .

В каждой из его 12 одинаковых вершин сходятся две квадратных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {7}{9}}\right)\approx 0{,}78\pi .}$

Кубооктаэдр имеет 24 ребра равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ }.}$

Кубооктаэдр можно получить из куба , «срезав» с него 8 правильных треугольных пирамид ; либо из октаэдра , «срезав» с него 6 квадратных пирамид ; либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра.

В координатах

Кубооктаэдр с длиной ребра ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (0;\;\pm 1;\;\pm 1).}$

Начало координат ${\displaystyle (0;\;0;\;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер .

Метрические характеристики

Если кубооктаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}4641016a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{3}\approx 2{,}3570226a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R=a=1{,}0000000a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {\sqrt {3}}{2}}\;a\approx 0{,}8660254a.}$

Вписать в кубооктаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри кубооктаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{4}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\;a\approx 0{,}7071068a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{4}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a.}$

Звёздчатые формы

Кубооктаэдр образует звёздчатые формы :

• 
  Исходный многогранник
• 
  Первая звёздчатая форма
• 
  Вторая звёздчатая форма
• 
  Третья звёздчатая форма
• 
  Четвёртая звёздчатая форма

Заполнение пространства

Одними только кубооктаэдрами замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений нельзя, но это можно сделать с помощью кубооктаэдров вместе с другими многогранниками:

• 
  Кубооктаэдры и октаэдры
• 
  Ромбокубоктаэдры , кубооктаэдры и кубы
• 
  Усечённые октаэдры , усечённые тетраэдры и кубооктаэдры
• 
  , кубооктаэдры, октаэдры и треугольные призмы

В природе и культуре

Одним из символов компьютерной игры Elite стала космическая станция в форме кубооктаэдра с люком на квадратной грани . Впоследствии её внесли и в Elite: Dangerous .

• 
  Кристалл синтетического алмаза под электронным микроскопом
• 
  Вариант кубика Рубика
• 

Примечания

Литература

• М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .