Изоэдральный многогранник (также гранетранзитивный многогранник ) размерности 3 или выше — это многогранник , все грани которого одинаковы, также удовлетворяющий некоторым дополнительным ограничениям. Более точно, все грани должны быть не просто конгруэнтны , а должны быть транзитивны , то есть должны принадлежать в одной и той же орбите симметрии . Другими словами, для любых граней A и B должна существовать симметрия всего тела (состоящая из вращений и отражений), которая переводит A в B. По этой причине правильные игральные кости имеют форму выпуклых изоэдральных многогранников .

Изоэдральные многогранники называются . Они могут быть описаны их конфигурацией граней . Изоэдральное тело, имеющее правильные вершины, является также рёберно транзитивным телом (изотоксальным) и говорят, что оно является квазиправильным двойственным — некоторые теоретики считают эти тела истинно квазиправильными, посокольку они сохраняют те же симметрии, но это принимают не все исследователи.

Изоэдральный многогранник имеет двойственный многогранник , являющийся вершинно транзитивным (изогональным). Каталановы тела , бипирамиды и трапецоэдры все изоэдральны. Они дуальны изогональным архимедовым телам , призмам и антипризмам соответственно. Правильные многогранники , которые либо самодвойственны, либо двойственны другим платоновым телам (правильным многогранникам), вершинно-, рёберно- и гранетранзитивны (изогональны, изотоксальны и изоэдральны). Изоэдральный и изогональный многогранник одновременно называется .

Примеры

V4.4.6 является примером неправильного изоэдрального многогранника.

Изоэдральная каирская пятиугольная мозаика , V3.3.4.3.4

являются примером изоэдральных (и изохорных) заполняющих пространство сот.

k -изоэдральное тело

Многогранник является k -изоэдральным , если он содержит k граней в его фундаментальной области симметрии .

Аналогично, k -изоэдральная мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (и может содержать m граней различной формы для некоторого m < k ) .

Моноэдральный (имеющий грани одного вида) многогранник или моноэдральная мозаика (m=1) имеют конгруэнтные грани. r -эдральный многогранник или мозаика имеет r типов граней (они также называются диэдральными, триэдральными и так далее для m=2, 3, …) .

Несколько примеров k-изоэдральных многогранников и мозаик с раскраской граней в k симметричных позициях:

3-изоэдральный	4-изоэдральный	изоэдральный	2-изоэдральный
(2-эдральные) многогранники с правильными гранями		Моноэдральные многогранники
Ромбокубооктаэдр имеет один тип треугольников и два типа квадратов	Удлинённый квадратный гирокупол имеет один тип треугольников и три типа квадратов.	Дельтоидальный икоситетраэдр имеет один тип граней.	имеет 3 типа граней.

2-изоэдральная	4-изоэдральная	изоэдральная	3-изоэдральная
(2-эдрадьные) мозаики с правильными гранями		Монождральные мозаики
Пифагорова мозаика имеет квадраты 2 размеров.	3-однородная мозаика имеет 3 типа одинаковых треугольников и квадраты одного вида.	имеет правильные грани одного типа.	Пятиугольная мозаика имеет 3 типа идентичных неправильных пятиугольных граней.

Связанные понятия

Ячейно транзитивное или изохорное тело является n -мерным многогранником ( n >3) или сотами , которые имеют конгруэнтные и переходящие друг в друга с помощью симметрии (то есть транзитивные) ячейки .

Гранетранзитивное или изотопное тело ( изотоп ) является n -мерной фигурой или сотами с конгруэнтными и транзитивными фасетами ( (n-1) - гранями ). Двойственный многогранник изотопа является изогональным многогранником. По определению, это изотопное свойство является общим для двойственных тел однородных многогранников .

• Изотопная 2-мерная фигура является изотоксальной (рёбернотранзитивной).
• Изотопное 3-мерное тело является изоэдральным (гранетранзитивным).
• Изотопное 4-мерное тело является изохорным (ячейнотранзитивным).

См. также

• Рёберная транзитивность

Примечания

Литература

Ссылки

• Olshevsky, George. . Glossary for Hyperspace . Archived from on 4 February 2007.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .