Усечённый куб — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 14 гранями, составленный из 8 правильных треугольников и 6 правильных восьмиугольников .

В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся две восьмиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)\approx 0{,}89\pi .}$

Усечённый куб имеет 36 рёбер равной длины. При 12 рёбрах (между двумя восьмиугольными гранями) двугранные углы прямые, как в кубе ; при 24 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) двугранные углы тупые и равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)\approx 125{,}26^{\circ },}$ как в кубооктаэдре .

Усечённый куб можно получить из обычного куба , «срезав» с того 8 правильных треугольных пирамид , — либо как пересечение имеющих общий центр куба и октаэдра .

Метрические характеристики

Если усечённый куб имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=2\left(6+6{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 32{,}4346644a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\left(21+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 13{,}5996633a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {7+4{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}7788236a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}7071068a.}$

Вписать в усечённый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого куба с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех восьмиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{8}={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}2071068a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{8}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\sqrt {{\frac {17}{12}}+{\sqrt {2}}}}\;a\approx 1{,}6825220a.}$

В координатах

Усечённый куб можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными перестановками чисел ${\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm ({\sqrt {2}}-1)).}$

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер .

Заполнение пространства

С помощью октаэдров и усечённых кубов можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений ( ).

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Литература

• М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.