Усечённый додека́эдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников .

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle \pi +\arccos {\frac {\sqrt {5}}{3}}\approx 1{,}23\pi .}$

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116{,}57^{\circ },}$ как в додекаэдре ; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142{,}62^{\circ },}$ как в икосододекаэдре .

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра , «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид , — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра .

В координатах

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (0;\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm \Phi ;\;\pm 2\Phi ),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 2;\;\pm (\Phi +1)),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения .

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер .

Метрические характеристики

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100{,}9907602a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85{,}0396646a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}9694490a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9270510a.}$

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{2}}}\;a\approx 2{,}4898983a.}$

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{10}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)a\approx 2{,}9127812a.}$

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Литература

• М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447.
• Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.