Interested Article - Курносый куб
- 2021-06-05
- 1
Курно́сый куб , или плосконо́сый куб , — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 38 гранями, составленный из 6 квадратов и 32 правильных треугольников . В каждой из его 24 одинаковых вершин сходятся одна квадратная грань и четыре треугольных. Треугольные грани делятся на две группы: 8 из них окружены только другими треугольными, остальные 24 — квадратной и двумя треугольными.
Имеет 60 рёбер равной длины.
Название «курносый куб» ( лат. cubus simus ) дал этому многограннику Иоганн Кеплер в трактате 1619 года « Гармония мира ». Гарольд Коксетер , отметив, что многогранник родствен октаэдру в той же мере, что и кубу , предлагал называть его «курносым кубооктаэдром ».
В отличие от большинства других архимедовых тел, курносый куб (наряду с курносым додекаэдром ) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
Метрические характеристики и углы
При определении метрических свойств курносого куба приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных архимедовых тел и для платоновых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней . Поэтому курносый куб, в отличие от платоновых и ахиральных архимедовых тел, не допускает евклидова построения . То же верно и для курносого додекаэдра, а также для двойственных им каталановых тел.
При описании метрических свойств и углов курносого куба важную роль играет константа трибоначчи :
- .
Если курносый куб имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
Вписать в курносый куб сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри курносого куба с ребром (она будет касаться только всех квадратных граней в их центрах), равен
Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит и равно
Двугранные углы между двумя смежными треугольными гранями курносого куба равны между смежными квадратной и треугольной гранями
Телесный угол при вершине равен
В координатах
«Левый» курносый куб можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы координаты 12 его вершин были всевозможными чётными перестановками тех троек чисел среди которых чётное число отрицательных, а координаты остальных 12 вершин — всевозможными нечётными перестановками тех троек, среди которых нечётное число отрицательных.
Если поступить наоборот — взять чётные перестановки троек с нечётным числом минусов и нечётные перестановки троек с чётным числом минусов — получим «правый» вариант курносого куба.
Начало координат в обоих случаях будет центром описанной и полувписанной сфер многогранника.
Примечания
- , с. 20, 41.
- , с. 437, 435.
- , с. 183.
- У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 153.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
Литература
- М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.
- 2021-06-05
- 1