Пятиска́тный ку́пол — один из многогранников Джонсона ( J ₅ , по Залгаллеру — М ₆ ).

Составлен из 12 граней: 5 правильных треугольников , 5 квадратов , 1 правильного пятиугольника и 1 правильного десятиугольника . Десятиугольная грань окружена пятью квадратными и пятью треугольными; пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена десятиугольной, пятиугольной и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и квадратной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 5 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 10 — между квадратной и треугольной.

У пятискатного купола 15 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и треугольная грани; в остальных 5 — пятиугольная, две квадратных и треугольная.

Пятискатный купол можно получить из ромбоикосододекаэдра , рассекши тот плоскостью на две неравные части. Вершины полученного многогранника — 15 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 25 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатного купола существуют описанная и полувписанная сферы , причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра. Центр описанной и полувписанной сфер лежит вне пятискатного купола.

Метрические характеристики

Если пятискатный купол имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\left(20+5{\sqrt {3}}+\left(10+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 16{,}5797498a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 2{,}3240453a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a,}$

высота купола (расстояние между десятиугольной и пятиугольной гранями) —

${\displaystyle H={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\;a\approx 0{,}5257311a.}$

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды ( J ₆ ) больше высоты пятискатного купола в ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi +1\approx 2{,}618}$ раз, где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения .

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .