Interested Article - Удлинённая треугольная пирамида

Удлинённая треуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона ( J ₇ , по Залгаллеру — М ₁ +П ₃ ).

Составлена из 7 граней: 4 правильных треугольников и 3 квадратов . Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; среди треугольных граней 1 окружена тремя квадратными, остальные 3 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 12 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 3 — между двумя треугольными.

У удлинённой треугольной пирамиды 7 вершин. В 3 вершинах сходятся две квадратных грани и одна треугольная; в 3 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся три треугольных грани.

Удлинённую треугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильного тетраэдра и правильной треугольной призмы , все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу треугольными гранями.

Метрические характеристики

Если удлинённая треугольная пирамида имеет ребро длины $a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

S=\left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4{,}7320508a^{2},

V=\left({\frac {\sqrt {2}}{12}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)a^{3}\approx 0{,}5508638a^{3}.

В координатах

Удлинённую треугольную пирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

$\left(\pm 1;\;-{\frac {\sqrt {3}}{3}};\;\pm 1\right),$
$\left(0;\;{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}};\;\pm 1\right),$
$\left(0;\;0;\;1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\right).$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых треугольных пирамид, квадратных пирамид ( J ₁ ) и/или октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений ( ).