Удлинённая пятиуго́льная бипирами́да — один из многогранников Джонсона ( J ₁₆ , по Залгаллеру — М ₃ +П ₅ +М ₃ ).

Составлена из 15 граней: 10 правильных треугольников и 5 квадратов . Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между двумя квадратными гранями, 10 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 10 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной бипирамиды 12 вершин. В 10 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 2 вершинах сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — двух правильных пятиугольных пирамид ( J ₂ ) и правильной пятиугольной призмы , все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основания пирамид к основаниям призмы.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная бипирамида имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 9{,}3301270a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}\left(5+{\sqrt {5}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{3}\approx 2{,}3234831a^{3}.}$

В координатах

Удлинённую пятиугольную бипирамиду с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}};\;{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;{\sqrt {\frac {10+2{\sqrt {5}}}{5}}};\;\pm 1\right),}$
• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm \left(1+{\sqrt {\frac {10-2{\sqrt {5}}}{5}}}\;\right)\right).}$

При этом две из шести осей симметрии многогранника будет совпадать с осями Oy и Oz, а две из шести плоскостей симметрии — с плоскостями xOy и yOz.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .