Два́жды противополо́жно отсечённый ромбоикосододека́эдр — один из многогранников Джонсона ( J ₈₀ , по Залгаллеру — М ₁₄ ).

Составлен из 42 граней: 10 правильных треугольников , 20 квадратов , 10 правильных пятиугольников и 2 правильных десятиугольников . Каждая десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью квадратными; каждая пятиугольная грань окружена десятиугольной и четырьмя квадратными; среди квадратных граней 10 окружены десятиугольной, двумя пятиугольными и треугольной, другие 10 — двумя пятиугольными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена тремя квадратными.

Имеет 90 рёбер одинаковой длины. 10 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 10 рёбер — между десятиугольной и квадратной, 40 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно отсечённого ромбоикосододекаэдра 50 вершин. В 20 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и квадратная грани; в 30 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра , отсекши от того два противолежащих пятискатных купола ( J ₅ ). Вершины полученного многогранника — 50 из 60 вершин ромбоикосододекаэдра, рёбра — 90 из 120 рёбер ромбоикосододекаэдра; отсюда ясно, что у дважды противоположно отсечённого ромбоикосододекаэдра тоже существуют описанная и полувписанная сферы , причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно отсечённый ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S={\frac {5}{2}}\left(8+{\sqrt {3}}+\left(2+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 56{,}9233187a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{3}}\left(11+5{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 36{,}9672331a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}2329505a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {10+4{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2{,}1762509a.}$

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .