Пятиугольный купол (пример)
Тип	Множество куполов
Символ Шлефли	{ n } || t{ n }
Граней	n треугольников , n квадратов , 1 n -угольник , 1 2 n -угольник
Рёбер	5 n
Вершин	3 n
Группа симметрии	C n v , [1, n ], (* nn ), порядок 2n
Группа вращений	C n , [1, n ] + , ( nn ), порядок n
Двойственный многогранник	?
Свойства	выпуклый

Купол — тело, образованное соединением двух многоугольников , в котором один (основание) имеет вдвое больше сторон по сравнению с другим (верхняя грань). Соединение многоугольников осуществляется равнобедренными треугольниками и прямоугольниками . Если треугольники правильные , а прямоугольники являются квадратами , в то время как основание и вершина являются правильными многоугольниками , купол является многогранником Джонсона . Эти куполы, трёхскатный , четырёхскатный и пятискатный , можно получить, взяв сечения кубооктаэдра , ромбокубооктаэдра и ромбоикосододекаэдра соответственно.

Купол можно рассматривать как призму , где один из многоугольников наполовину стянут путём объединения вершин попарно.

Куполу можно приписать расширенный символ Шлефли { n } || t{ n }, представляющий правильный многоугольник {n}, соединённый с параллельной ему усечённой копией, t{n} или {2n}.

Куполы являются подклассом призматоидов .

Примеры

Семейство выпуклых

n	2	3	4	5	6
Название	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Купол	Диагональный купол	Трёхскатный купол	Четырёхскатный купол	Пятискатный купол	Шестискатный купол (плоский)
Связанные однородные многогранники	Треугольная призма	Кубооктаэдр	Ромбокубо- октаэдр	Ромбоикосо- додекаэдр

Упомянутые выше три многогранника являются нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями. « Шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольную призму может считать «куполом» степени 2 (купол отрезка и квадрата). Однако куполы с большим числом сторон многоугольников могут быть построены только с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.

Координаты вершин

Определение купола не требует правильности основания и верхней грани, но удобно рассматривать случаи, в которых куполы имеют максимальную симметрию, C _{n v} . В этом случае верхняя грань является правильным n -угольником, в то время как основание является правильным 2 n -угольником, либо 2 n -угольником с двумя различными длинами сторон (через одну) и теми же углами, что и у правильного 2 n - угольника. Удобно расположить купол в координатной системе так, чтобы его основание лежало в плоскости xy с верхней гранью, параллельной этой плоскости. Ось z является осью симметрии порядка n , зеркальные плоскости проходят через эту ось и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхней грани, или и то, и другое. (Если n чётно, половина зеркал делит пополам стороны, половина — углы. Если же n нечётно, каждое зеркало делит пополам одну сторону и один угол верхней грани.) Пронумеруем вершины основания числами от V ₁ до V _{2 n} , а вершины верхней грани — числами от V _{2 n +1} до V _{3 n} . Координаты вершин тогда можно записать следующим образом:

• V _{2 j −1} : ( r _b cos[2π( j − 1) / n + α], r _b sin[2π( j − 1) / n + α], 0)
• V _{2 j} : ( r _b cos(2π j / n − α), r _b sin(2π j / n − α), 0)
• V _{2 n + j} : ( r _t cos(π j / n ), r _t sin(π j / n ), h ),

где j = 1, 2, …, n .

Поскольку многоугольники V ₁ V ₂ V _{2 n +2} V _{2 n +1} , и т. д. являются прямоугольниками, на значения r _b , r _t и α накладываются ограничения. Расстояние V ₁ V ₂ равно

r _b {[cos(2π / n − α) − cos α] ² + [sin(2π / n − α) − sin α] ² } ^{1 ⁄ 2}

= r _b {[cos ² (2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos ² α] + [sin ² (2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin ² α]} ^{1 ⁄ 2}

= r _b {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]} ^{1 ⁄ 2}

= r _b {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} ^{1 ⁄ 2}

а расстояние V _{2 n +1} V _{2 n +2} равно

r _t {[cos(π / n ) − 1] ² + sin ² (π / n )} ^{1 ⁄ 2}

= r _t {[cos ² (π / n ) − 2cos(π / n ) + 1] + sin ² (π / n )} ^{1 ⁄ 2}

= r _t {2[1 − cos(π / n )]} ^{1 ⁄ 2} .

Они должны быть равны, так что, если это общее ребро имеет длину s ,

r _b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} ^{1 ⁄ 2}

r _t = s / {2[1 − cos(π / n )]} ^{1 ⁄ 2}

И эти значения следует подставить в вышеприведённые формулы для вершин.

Звёздчатые куполы

Семейство

n / d	4	5	7	8
3
5	—	—

Семейство звёздчатых куполоидов

n / d	3	5	7
2	Скрещенный треугольный куполоид		Гептаграммный куполоид
4	—		Скрещенный гептаграммный куполоид

Звёздчатые куполы существуют для всех оснований { n / d }, где ⁶ / ₅ < ⁿ / _d < 6 и d нечётно. На границах куполы превращаются в плоские фигуры. Если d чётно, нижнее основание {2 n / d } становится вырожденным — мы можем образовать куполоид или полукупол путём удаления этой вырожденной грани и позволив треугольникам и квадратам соединяться друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все куполы , в то время как все куполоиды неориентированны. Если n / d > 2 для куполоида, треугольники и квадраты не покрывают всё основание и маленькая мембрана остаётся на основании, которая просто закрывает дыру. Таким образом, куполоиды {5/2} и {7/2} на рисунке выше имеют мембраны (не заполнены), в то время как куполоиды {5/4} и {7/4} их не имеют.

Высота h купола { n / d } или куполоида задаётся формулой ${\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}({\frac {\pi d}{n}})}}}}}$ . В частности, h = 0 на границах n / d = 6 и n / d = 6/5, и h максимально при n / d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально) .

На рисунках выше звёздчатые куполы показаны в цветах, чтобы подчеркнуть их грани — грань n / d -угольника показана красным, грань 2 n / d -угольника показана жёлтым, квадраты представлены синим цветом, а треугольники — зелёным. Куполоиды имеют красные n / d -угольные грани, жёлтые квадратные грани, а треугольные грани выкрашены в голубой цвет, второе же основание удалено.

Гиперкуполы

Гиперкуполы или многогранные куполы — это семейство выпуклых неоднородных четырёхмерных многогранников, аналогичных куполам. Основаниями каждого такого многогранника являются правильный многогранник (трёхмерный) и его растяжение .

В таблице используется понятие Сегментогранник (англ. Segmentochora) — это фигура, удовлетворяющая следующим свойствам:

1. все вершины находятся на одной гиперсфере

2. все вершины находятся на двух параллельных гиперплоскостях

3. все рёбра имеют длину 1

В плоскости существует два сегментогранника (сегментоугольника) — правильный треугольник и квадрат.

В 3-мерном пространстве они включают пирамиды, призмы, антипризмы, купола.

Название
Символ Шлефли	{3,3} ∨ rr{3,3}		{4,3} ∨ rr{4,3}		{3,4} ∨ rr{3,4}		{5,3} ∨ rr{5,3}		{6,3} ∨ rr{6,3}
Индекс сегментогранника	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
Радиус описанной окружности	1		sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1.485634		sqrt(2+sqrt(2)) = 1.847759		3+sqrt(5) = 5.236068
Рисунок
Главные ячейки
Вершин	16		32		30		80		∞
Рёбер	42		84		84		210		∞
Граней	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
Ячеек	16	1 тетраэдр 4 треугольные призмы 6 треугольных призм 4 треугольные призмы 1 кубооктаэдр	28	1 куб 6 квадратных призм 12 треугольных призм 8 1 ромбокубооктаэдр	28	1 октаэдр 8 треугольных призм 12 треугольных призм 6 квадратных пирамид 1 ромбокубооктаэдр	64	1 додекаэдр 12 пятиугольных призм 30 треугольных призм 20 1 ромбоикосододекаэдр	∞	1 шестиугольная мозаика ∞ шестиугольных призм ∞ треугольных призм ∞ треугольных пирамид 1 ромботришестиугольная мозаика
Связанные однородные 4-мерные многогранники

Примечания

Литература

• N.W. Johnson . Convex Polyhedra with Regular Faces // Canad. J. Math. — 1966.. — Вып. 18 . — С. 169–200 .
• Dr. Richard Klitzing. Convex Segmentochora. — Symmetry: Culture and Science. — 2000. — Т. 11. — С. 139-181.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .