Interested Article - Теорема Минковского о многогранниках

Теорема Минковского о многогранниках — общее название двух теорем о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с заданными направлениями и площадями граней.

Теорема единственности Минковского: Если между гранями двух замкнутых выпуклых многогранников установлено взаимно-однозначное соответствие так, что (i) единичные нормали к соответствующим граням совпадают и (ii) площади соответствующих граней одинаковы, то многогранники получаются один из другого параллельным переносом (и, в частности, они конгруэнтны ).

Несложно доказать, что если ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ — единичные векторы внешних нормалей к граням выпуклого многогранника и $S_{1},\dots ,S_{k}$ — площади соответствующих граней, то $S_{1}{\mathbf {n} }_{1}+\ldots +S_{k}{\mathbf {n} }_{k}={\mathbf {0} }$ . Следующая теорема показывает, что указанное условие является единственным, связывающим площади граней и нормали к ним:

Теорема существования Минковского: Если ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ — произвольные единичные векторы, не все направленные в одно полупространство, и $S_{1},\dots ,S_{k}$ — произвольные положительные числа, причём $S_{1}{\mathbf {n} }_{1}+\ldots +S_{k}{\mathbf {n} }_{k}={\mathbf {0} }$ , то существует выпуклый многогранник, для которого векторы ${\mathbf {n} }_{1},\dots ,{\mathbf {n} }_{k}$ (и только они) являются векторами внешних единичных нормалей к граням, а числа $S_{1},\dots ,S_{k}$ являются площадями граней.

Обе теоремы доказаны Германом Минковским в 1897 году . Они понадобились ему для создания математических основ кристаллографии .
Обе теоремы Минковского верны во всех евклидовых пространствах размерности 2 и выше .
Теоремы обобщаются на случай произвольных выпуклых поверхностей, см. Задача Минковского
При некоторых ограничениях подобные теоремы верны и для невыпуклых многогранников .
В трёхмерном пространстве обобщением теоремы единственности Минковского служит теорема Александрова о выпуклых многогранниках , утверждающая, что «Если у двух выпуклых многогранников все пары параллельных граней таковы, что ни одну грань нельзя поместить внутри другой параллельным перенесением, то такие многогранники равны и параллельно расположены».
Одним из следствий является теорема Александрова — Шепарда — Макмюллена о том, что выпуклый многогранник с центрально-симметричными гранями сам является центрально-симметричным.

Примечания

H. Minkowski , (недоступная ссылка) . — Gött. Nachr., 198—219 (1897). Русский перевод: Г. Минковский, , Успехи мат. наук, вып. 2 , 55—71 (1936).
А. Д. Александров , Б. Н. Делоне , Н. Н. Падуров, Математические основы структурного анализа кристаллов и определение основного параллелепипеда повторяемости при помощи рентгеновских лучей . — М. ; Л. : Гостехиздат, 1934.
А. Д. Александров , Выпуклые многогранники . — М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950.
Л. А. Люстерник , Выпуклые фигуры и многогранники . — М. : ГИТТЛ, 1956.
V. Alexandrov, от 1 октября 2018 на Wayback Machine , Geom. Dedicata 107 , 169—186 (2004). DOI 10.1007/s10711-004-4090-3.