Interested Article - Нотация Конвея для многогранников

Этот рисунок показывает 11 новых многогранников, которые можно получить из куба с помощью трёх операций. Новые многогранники показаны как отображения на поверхность куба, чтобы были яснее видны топологические изменения. Вершины на всех многогранниках изображены в виде кружочков.

Н рисунке добавлены 3 другие операции — операция p =propellor Джорджа Харта, добавляющая четырёхугольники, операция g =gyro , создающая пятиугольники и операция c =chamfer, заменяющая рёбра шестиугольниками

Нотация Конвея для многогранников , разработанная Конвеем и продвигаемая , используется для описания многогранников , опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс- операциями .

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation ( усечения ), определённого Кеплером , чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, t C представляет усечённый куб , а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром . Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC = O . Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.

Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками , представляются первой буквой в их (английском) названии ( T etrahedron = тетраэдр, O ctahedron = октаэдр, C ube = куб, I cosahedron = икосаэдр, D odecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы ( P n – от p rism для n -угольных призм), антипризмы ( A n – от A ntiprisms), купола ( U n – от c u polae), антикупола ( V n ) и пирамиды ( Y n – от p y ramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как J n (от J ohnson solids = тела Джонсона ) для n =1…92.

В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa = e , в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta = b . Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически .

Операции на многогранниках

Элементы таблицы даны для затравки с параметрами ( v , e , f ) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.

Специальные виды

Операция «kis» имеет вариант k n , в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n -сторонами.

Операция усечения имеет вариант t n , в этом случае усекаются только вершины порядка n .

Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC , а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC .

Оператор хиральности

r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g . Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, s = rs .

Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Базовые операции
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
	Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
r	reflect		v	e	f	Зеркальный образ для хиральных форм
d	dual		f	e	v	Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань
a	ambo	dj djd	e	2 e	f + v	Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются ( rectify ) Операция создаёт вершины с валентностью 4.
j	join	da dad	v + f	2 e	e	К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань. Операция создаёт квадратные грани.
k k _n	kis	nd = dz dtd	v + f	3 e	2 e	На каждой грани добавляется пирамида. Акизация или кумуляция, увеличение или пирамидальное расширение .
t t _n	truncate	nd = dz dkd	2 e	3 e	v + f	Отсекает все вершины. Операция является сопряжённой с kis
n	needle	kd = dt dzd	v + f	3 e	2 e	Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра. Операция преобразует ( a , b ) в ( a +2 b , a - b ) для a > b . Она также преобразует ( a ,0) в ( a , a ), ( a , a ) в (3 a ,0), (2,1) в (4,1), и т.д.
z	zip	dk = td dnd	2 e	3 e	v + f	Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation ( ). Эта операция преобразует G ( a , b ) в G ( a +2 b , a - b ) для a > b . Она также преобразует G ( a ,0) в G ( a , a ), G ( a , a ) в G (3 a ,0), G (2,1) в G (4,1) и т.д.
e	expand (растяжение)	aa dod = do	2 e	4 e	v + e + f	Каждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. ( cantellate = скашивание)
o	ortho	daa ded = de	v + e + f	4 e	2 e	Каждая n -угольная грань делится на n четырёхугольников.
g rg = g	gyro	dsd = ds	v +2 e + f	5 e	2 e	Каждая n -угольная грань делится на n пятиугольников.
s rs = s	snub	dgd = dg	2 e	5 e	v +2 e + f	«расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольника
b	bevel	dkda = ta dmd = dm	4 e	6 e	v + e + f	Новые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = )
m	meta medial	kda = kj dbd = db	v + e + f	6 e	4 e	Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер.

Образование правильных затравок

Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:

Треугольная пирамида : Y3 (Тетраэдр является частным случаем пирамид)
- T = Y3
- O = aT (тетраэдр после операции ambo)
- C = jT (тетраэдр после операции join)
- I = sT (плосконосый тетраэдр, тетраэдр после операции snub)
- D = gT (тетраэдр после операции gyro)
Треугольная антипризма : A3 (Октаэдр является частным случаем антипризм)
- O = A3
- C = dA3
Квадратная призма : P4 (Куб является частным случаем призмы)
- C = P4
Пятиугольная антипризма : A5
- I = k5A5 (Частный случай )
- D = t5dA5 (Частный случай )

Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:

Q = Quadrille (четырёхугольная мозаика) = квадратная мозаика
H = Hextille = шестиугольная мозаика = dΔ
Δ = Deltille = треугольная мозаика = dH

Примеры

Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники с . В первой строке показаны архимедовы тела , а во второй — каталановы тела . Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.

Куб «затравка»	ambo	truncate	zip	expand	bevel	snub
C dO	aC aO	tC zO	zC = dkC tO	aaC = eC eO	bC = taC taO	sC sO
dual	join	needle	kis	ortho	medial	gyro
dC O	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gC gO

Усечённый икосаэдр , tI или zD, являющийся G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно- , ни гранетранзитивны .

Усечённый икосаэдр в качестве затравки
«затравка»	ambo	truncate	zip	extension	bevel	snub
zD от 21 октября 2016 на Wayback Machine	azI от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	tzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	tdzD от 21 октября 2016 на Wayback Machine	aazD = ezD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	bzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	szD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine
dual	join	needle	kis	ortho	medial	gyro
dzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	jzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	kdzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	kzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	ozD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	mzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine	gzD от 1 февраля 2017 на Wayback Machine

Геометрические координаты производных форм

В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет , эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.

Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаика
D	tD	aD	zD = dkD	eD	bD = taD	sD
dD	nD = dtD	jD = daD	kD = dtdD	oD = deD	mD = dtaD	gD

Пример: Затравка в виде евклидовой шестиугольной мозаики (H)
H		aH	tdH = H		= taH	sH
dH		jH = daH	dtdH = kH	= deH		gH = dsH

Производные операции

Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.

Оператор(ы)	d	a j	k , t n , z	e o	g s	a & k	a & e	k & k	k & e k & a ²	e & e
рёберный мультипликатор	1	2	3	4	5	6	8	9	12	16
Уникальных производных операторов						8	2	8	10	2

Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Производные операции
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
	Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
at		akd	3 e	6 e	v +2 e + f	Операция ambo после truncate
jk		dak	v +2 e + f	6 e	3 e	Операция join после kis. Подобна ortho , за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер
ak		dajd	3 e	6 e	v +2 e + f	Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника.
jt		dakd = dat	v +2 e + f	6 e	3 e	Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo
tj		dka	4 e	6 e	v + e + f	truncate join
ka			v + e + f	6 e	4 e	kis ambo
ea or ae		aaa	4 e	8 e	v +3 e + f	расширенная операция ambo, тройная операция ambo
oa or je		daaa = jjj	v +3 e + f	8 e	4 e	Операция ortho после ambo, тройная операция join
x = kt	exalt	kdkd dtkd	v + e + f	9 e	7 e	Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней. Операция преобразует ( a , b ) в (3 a ,3 b ).
y = tk	yank	dkdk dktd	v + e + f	9 e	7 e	Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра Операция преобразует G ( a , b ) в G (3 a ,3 b ).
nk		kdk = dtk = ktd	7 e	9 e	v + e + f	needled kis
tn		dkdkd = dkt = tkd	7 e	9 e	v + e + f	truncate needle
tt		dkkd	7 e	9 e	v + e + f	двойная операция truncate
kk		dttd	v +2 e + f	9 e	6 e	двойная операция kis
nt		kkd = dtt	v + e + f	9 e	7 e	needle truncate
tz		dkk = ttd	6 e	9 e	v +2 e + f	truncate zip
ke		kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis expand
to		dkaa	8e	12e	v+3e+f	truncate ortho
ek		aak	6e	12e	v+5e+f	expand kis
ok		daak = dek	v+5e+f	12e	6e	ortho kis
et		aadkd	6e	12e	v+5e+f	расширенная операция truncate
ot		daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	ortho truncate
te or ba		dkdaa	8e	12e	v+3e+f	truncate expand
ko or ma		kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis ortho
ab or am		aka = ata	6 e	12 e	v +5 e + f	ambo bevel
jb or jm		daka = data	v +5 e + f	12 e	6 e	joined bevel
ee		aaaa	v+7e+f	16e	8e	double-expand
oo		daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	double-ortho

Хиральные производные операции

Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.

Оператор(ы)	d	a	k	e	g	a&g	k&g	e&g	g&g
мультипликатор рёбер	1	2	3	4	5	10	15	20	25
Уникальных производных операторов						4	8	4	2

Хиральные порождённые операции
Оператор	Название	Построение	вершин	рёбер	граней	Описание
	Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
ag		as djsd = djs	v +4 e + f	10 e	5 e	ambo gyro
jg		dag = js dasd = das	5 e	10 e	v +4 e + f	joined gyro
ga		gj dsjd = dsj	v +5 e + f	10 e	4 e	gyro ambo
sa		dga = sj dgjd = dgj	4 e	10 e	v +5 e + f	snub ambo
kg		dtsd = dts	v +4 e + f	15 e	10 e	kis gyro
ts		dkgd = dkg	10 e	15 e	v +4 e + f	truncated snub
gk		dstd	v +8 e + f	15 e	6 e	gyro kis
st		dgkd	6 e	15 e	v +8 e + f	snub truncation
sk		dgtd	v +8 e + f	15 e	6 e	snub kis
gt		dskd	6 e	15 e	v +8 e + f	gyro truncation
ks		kdg dtgd = dtg	v +4 e + f	15 e	10 e	kis snub
tg		dkdg dksd	10 e	15 e	v +4 e + f	truncated gyro
eg		es aag	v +9 e + f	20 e	10 e	expanded gyro
og		os daagd = daag	10 e	20 e	v +9 e + f	expanded snub
ge		go gaa	v +11 e + f	20 e	8 e	gyro expand
se		so dgaad = dgaa	8 e	20 e	v +11 e + f	snub expand
gg		gs dssd = dss	v +14 e + f	25 e	10 e	double-gyro
ss		sg dggd = dgg	10 e	25 e	v +14 e + f	double-snub

Расширенные операторы

Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской , cC , может быть построен как t4daC , как ромбододекаэдр , daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC , квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD , t5deD или t5oD , a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.

Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo , оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis , чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.

Операция chamfer ( снятие фаски ) создаёт G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2 n ,0).

Расширенные операции
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
	Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
c (от c hamfer)	chamfer	dud	v + 2 e	4 e	f + e	Усечение рёбер. Вместо рёбер вставляются новые шестиугольные грани. (0,2)
-	-	dc	f + e	4 e	v + 2 e	Операция dual после chamfer
u	s u bdivide	dcd	v+e	4e	f+2e	Операция ambo, пока сохраняются исходные вершины Операция аналогична для треугольных граней
-		cd	f+2e	4e	v+e	Операция dual после subdivide
l l _n	l oft		v +2 e	5 e	f +2 e	Расширение каждой грани призмой , добавление меньшей копии каждой грани с трапециями между внутренней и внешней гранью.
		dl dl _n	f +2 e	5 e	v +2 e	Операция dual после loft
		ld l _n d	f +2 e	5 e	v +2 e	Операция loft после dual
		dld dl _n d	v +2 e	5 e	f +2 e	Операция, сопряжённая с loft
		dL0	f +3 e	6 e	v +2 e	Операция dual после joined-lace
		L0d	f +2 e	6 e	v +3 e	Операция joined-lace после dual
		dL0d	v +3 e	6 e	f +2 e	Операция, сопряжённая с joined-lace
q	q uinto		v+3e	6e	f+2e	Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра.
-		dq	f+2e	6e	v+3e	Операция dual после quinto
		qd	v+2e	6e	f+3e	Операция quinto после dual
-		dqd	f+3e	6e	v+2e	Операция, сопряжённая с quinto
L0	joined-lace		v +2 e	6 e	f +3 e	Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер
L L _n	L ace		v +2 e	7 e	f +4 e	Расширение каждой грани антипризмой , добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями. Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон.
		dL dL _n	f +4 e	7 e	v +2 e	Оператор dual после laced
		Ld Ld _n	f +2 e	7 e	v +4 e	Оператор lace после dual
		dLd dL _n d	v +4 e	7 e	f +2 e	Последовательность операций dual, lace, dual
K K _n	sta K e		v+2e+f	7e	4e	Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками. Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон.
		d K dK _n	4e	7e	v+2e+f	Операция dual после stake
		Kd	v+2e+f	7e	4e	Операция stake после dual
		d K d	4e	7e	v+2e+f	Операция, сопряжённая со stake
M3	edge-medial-3		v+2e+f	7e	4e	Операция подобна m3, но не добавляются диагональные рёбра
		dM3	4e	7e	v+2e+f	Операция dual после edge-medial-3
		M3d	v+2e+f	7e	4e	Операция edge-medial-3 после dual
		dM3d	4e	7e	v+2e+f	Операция, сопряжённая с edge-medial-3
M0	joined-medial		v+2e+f	8e	5e	Операция подобна medial, но с добавлением ромбических граней на месте исходных рёбер.
		d M0	v+2e+f	8e	5e	Операция dual после joined-medial
		M0 d	v+2e+f	8e	5e	Операция joined-medial после dual
		d M0 d	5e	8e	v+2e+f	Операция, сопряжённая с joined-medial
m3	medial-3		v+2e+f	9e	7e	Триангуляция с добавлением двух вершин на каждое ребро и одной вершины в центре каждой грани.
b3	bevel-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	Операция dual после medial-3
		m3d	7e	9e	v+2e+f	Операция medial-3 после dual
		dm3d	v+2e+f	9e	7e	Операция, сопряжённая с medial-3
o3	ortho-3	de 3	v +4 e	9 e	f +4 e	Оператор ortho с делением рёбер на 3
e3	expand-3	do 3	f +4 e	9 e	v +4 e	Оператор expand с делением рёбер на 3
X	cross		v + f +3 e	10 e	6 e	Комбинация операций kis и subdivide . Исходные рёбра делятся пополам и образуются треугольные и четырёхугольные грани.
		dX	6 e	10 e	v + f +3 e	Операция dual после cross
		Xd	6 e	10 e	v + f +3 e	Операция cross после dual
		dXd	v + f +3 e	10 e	6 e	Операция, сопряжённая с cross
m4	medial-4		v+3e+f	12e	8e	Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани.
u5	subdivide-5		v +8 e	25 e	f +16 e	Рёбра делятся на 5 частей Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины.

Расширенные хиральные операторы

Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр создал операцию, которую он назвал пропеллер .

p – « p ropeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.

Расширенные хиральные операции
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
	«Затравка»		v	e	f	Исходный многогранник
p rp = p	propellor		v + 2 e	5 e	f + 2 e	Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней
-	-	dp = pd	f + 2 e	5 e	v + 2 e	Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани
-			4 e	7 e	v +2 e + f	Операция подобна snub , но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники
-	-	-	v +2 e + f	7 e	4 e
w = w2 = w2,1 rw = w	whirl		v+4 e	7 e	f+2 e	Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, (2,1) Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b).
v rv = v	volute	dwd	f+2 e	7 e	v+4 e	Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях. Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b).
g3 rg3 = g3	gyro-3		v +6 e	11 e	f +4 e	Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра
s3 rs3 = s3	snub-3	dg 3 d = dg 3	f +4 e	11 e	v +6 e	Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин
w3,1 rw3,1 = w3,1	whirl-3,1		v+8 e	13 e	f+4 e	Операция создаёт 4 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, (3,1)
w3 = w3,2 rw3 = w3	whirl-3,2		v+12 e	19 e	f+6 e	Операция создаёт 12 новых шестиугольников для каждого исходного ребра, (3,2)

Операции, сохраняющие исходные рёбра

Эти операции расширения оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.

Оператор	kis	cup	acup	loft	lace	stake	kis-kis
Пример	kC	UC	VC	lC	LC	KC	kkC
Рёбра	3 e	4 e - f ₄	5 e - f ₄	5 e	6 e	7 e	9 e
Изображение на кубе
Расширение	Пирамида	Купол	Антикупол	Призма	Антипризма

Операторы Коксетера

Операторы Коксетера / иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина . Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T _0,1 это будет обычным усечением, а R = T ₁ является полным усечением, или операцией rectify , то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t ₁ {4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра , а полноусечённый куб — это RC , то же самое, что ambo куб Конвея, aC .

Расширенные операции Коксетера
Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
T ₀	, t ₀ {4,3}	«Затравка»		v	e	f	Seed form
R = T ₁	, t ₁ {4,3}	rectify	a	e	2 e	f + v	То же самое, что ambo , новые вершины добавляются в середине рёбер, а новые грани заменяют исходные вершины. Все вершины имеют валентность 4.
T ₂	, t ₂ {4,3}	dual birectify	d	f	e	v	Операция dual для затравочного многогранника — каждая вершина создаёт новую грань
T = T _0,1	, t _0,1 {4,3}	truncate	t	2 e	3 e	v + f	Отсекаются все вершины.
T _1,2	, t _1,2 {4,3}		z = td	2 e	3 e	v + f	То же самое, что и zip
RR = T _0,2	, t _0,2 {4,3}	cantellate	aa = e	2 e	4 e	v + e + f	То же самое, что и expand
TR = T _0,1,2	, t _0,1,2 {4,3}		ta	4 e	6 e	v + e + f	То же самое, что и bevel

Полуоператоры

плосконосый куб строится как одно из двух усечённого кубооктаэдра . sr{4,3} = SRC = HTRC.

Многогранники F1bC и F2bC не идентичны и могут сохранять в общем случае полную октаэдральную симметрию.

Оператор semi или demi Коксетера, H (от H alf ), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo / Rectify .

Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H . Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) Коксетера S , semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht . Оператор snub s Конвея определяется как SR . Например, SRC — это плосконосый куб , sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO , построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра . Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA 4.

Оператор semi-gyro , G , определяется как dHt . Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR . Например, GRC — это gyro-куб, gC , или пентагональный икоситетраэдр . GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией , в то время как gT ( gyro tetrahedron , гиротетраэдр ) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией .

Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half . Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.

Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join , который является сопряжённым с оператором half , dHd .

Оператор semi-ortho , F , сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC .

Оператор semi-expand , E , определяется как Htd или Hz . Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией .

Полуоператоры на многогранниках с гранями, имеющими чётное число сторон
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
H = H1 H2	semi-ambo H alf 1 и 2		v /2	e - f ₄	f - f ₄ + v /2	, удаление половины вершин. Четырёхугольные грани ( f ₄ ) редуцируются до одиночных рёбер.
I = I1 I2	semi-truncate 1 и 2		v /2+ e	2 e	f + v /2	Усекает каждую вторую вершину
	semi-needle 1 и 2	dI	v /2+ f	2 e	e + v /2	Операция needle каждой второй вершины
F = F1 F2	semi-ortho F lex 1 и 2	dHtd = dHz dSd	v + e + f - f ₄	3 e - f ₄	e	Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2 n -угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани ( f ₄ ) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани.
E = E1 E2	semi-expand Eco 1 и 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	e	3 e - f ₄	v + e + f - f ₄	Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники ( f ₄ ) при этом редуцируются до одиночных рёбер.
U = U 1 U 2	semi-lace C U p 1 и 2		v + e	4 e - f ₄	2 e + f - f ₄	Наращение граней куполами .
V = V 1 V 2	semi-lace Anticup 3 и 4		v + e	5 e - f ₄	3 e + f - f ₄	Наращение граней антикуполами
	semi-medial 1 и 2	XdH = XJd	v + e + f	5 e	3 e	Поочерёдная операция medial относительно диагоналей
	semi-medial 3 и 4		v + e + f	5 e	3 e	Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон)
	semi-bevel 1 и 2	dXdH = dXJd	3 e	5 e	v + e + f	Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей
	semi-bevel 3 и 4		3 e	5 e	v + e + f	Поочерёдная операция bevel относительно медиан

Полуоперации на многогранниках с вершинами чётной валентности
Оператор	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
J = J1 J2	semi-join 1 и 2	dHd	v - v ₄ + f /2	e - v ₄	f /2	Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях. 4-валентные вершины ( v ₄ ) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром.
	semi-kis 1 и 2	dId	v + f /2	2 e	f /2+ e	Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней
	semi-zip 1 и 2	Id	f /2+ e	2 e	v + f /2	Операция zip на половине граней
S = S1 S2	semi-snub 1 и 2	Ht dFd	v - v ₄ + e	3 e - v ₄	f + e	Операция dual после semi-gyro — операция snub , вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры.
G = G1 G2	semi-gyro 1 и 2	dHt dS = Fd dEd	f + e	3 e - v ₄	v - v ₄ + e	Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер.
	semi-medial 1 и 2	XdHd = XJ	3 e	5 e	v + e + f	Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней
	semi-bevel 1 и 2	dXdHd = dXJ	v + e + f	5 e	3 e	Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней

Подразделения

Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.

Квадратное подразделение

Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.

Примеры на кубе
Ortho		o ₂ = o	o ₃	o ₄ = o ²	o ₅ = prp	o ₆ = oo ₃	o ₇	o ₈ = o ³	o ₉ = o ₃ ²	o ₁₀ = oo ₅ = oprp
Пример
Вершины	v	v + e + f	v +4 e	v +7 e + f	v +12 e	v +17 e + f	v +24 e	v +31 e + f	v +40 e	v +63 e + f
Рёбра	e	4 e	9 e	16 e	25 e	36 e	49 e	64 e	81 e	128 e
Грани	f	2 e	f +4 e	8 e	f +12 e	18 e	f +24 e	32 e	f +40 e	64 e
Expand (dual)		e ₂ = e	e ₃	e ₄ = e ²	e ₅ = dprp	e ₆ = ee ₃	e ₇	e ₈ = e ³	e ₉ = e ₃ ²	e ₁₀ = ee ₅ = doprp
Пример

Хиральное шестиугольное подразделение

Оператор whirl создаёт G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G( a , b ) в G( a +3 b ,2 a - b ) для a > b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G( a , b ) превращается в G(2 a +3 b , a -2 b ) при a >=2 b и в G(3 a + b ,2 b - a ) при a <2 b .

Операторы whirl- n образуют многогранники Голдберга ( n , n -1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2 n -1 подрёбер.

Результат операции whirl- n и ей обратной образует (3 n ² -3 n +1,0) . wrw образует (7,0), w ₃ rw ₃ образует (19,0), w ₄ rw ₄ образует (37,0), w ₅ rw ₅ образует (61,0), а w ₆ rw ₆ образует (91,0). Результат двух операций whirl- n — это (( n -1)(3 n -1),2 n -1) или (3 n ² -4 n +1,2 n -1). Произведение w _a на w _b даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а w _a на обратный w _b даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для a≥b.

Произведение двух идентичных операторов whirl- n образует многогранник Голдберга (( n -1)(3 n -1),2 n -1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).

Операторы whirl- n
Название	Затравка	Whirl	Whirl-3	Whirl-4	Whirl-5	Whirl-6	Whirl-7	Whirl-8	Whirl-9	Whirl-10	Whirl-11	Whirl-12	Whirl-13	Whirl-14	Whirl-15	Whirl-16	Whirl-17	Whirl-18	Whirl-19	Whirl-20	Whirl- n
Оператор (Состоавной)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 wrw 3,1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7,2	w14	w15	w16 ww9,2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11,3	w _n
	(1,0)	(2,1)	(3,2)	(4,3)	(5,4)	(6,5)	(7,6)	(8,7)	(9,8)	(10,9)	(11,10)	(12,11)	(13,12)	(14,13)	(15,14)	(16,15)	(17,16)	(18,17)	(19,18)	(20,19)	( n , n -1)
T разложение	1	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3 n ( n -1)+1
Пример
Вершина	v	v +4 e	v +12 e	v +24 e	v +40 e	v +60 e	v +84 e	v +112 e	v +144 e	v +180 e	v +220 e	v +264 e	v +312 e	v +364 e	v +420 e	v +480 e	v +544 e	v +612 e	v +684 e	v +760 e	v +2 n ( n -1) e
Рёбра	e	7 e	19 e	37 e	61 e	91 e	127 e	169 e	217 e	271 e	331 e	397 e	469 e	547 e	631 e	721 e	817 e	919 e	1027 e	1141 e	e +3 n ( n -1) e
Грани	f	f +2 e	f +6 e	f +12 e	f +20 e	f +30 e	f +42 e	f +56 e	f +72 e	f +90 e	f +110 e	f +132 e	f +156 e	f +182 e	f +210 e	f +240 e	f +272 e	f +306 e	f +342 e	f +380 e	f + n ( n -1) e
w _n w _n	(1,0)	(5,3)	(16,5)	(33,7)	(56,9)	(85,11)	(120,13)	(161,15)	(208,17)	(261,19)	(320,21)	(385,23)	(456,25)	(533,27)	(616,29)	(705,31)	(800,33)	(901,35)	(1008,37)	(1121,39)	(( n -1)(3 n -1),2 n -1)
w _n r w _n	(1,0)	(7,0)	(19,0)	(37,0)	(61,0)	(91,0)	(127,0)	(169,0)	(217,0)	(271,0)	(331,0)	(397,0)	(469,0)	(547,0)	(631,0)	(721,0)	(817,0)	(919,0)	(1027,0)	(1141,0)	(1+3 n ( n -1),0)
w _n z	(1,1)	(4,1)	(7,1)	(10,1)	(13,1)	(16,1)	(19,1)	(22,1)	(25,1)	(28,1)	(31,1)	(34,1)	(37,1)	(40,1)	(43,1)	(46,1)	(49,1)	(52,1)	(55,1)	(58,1)	(3 n -2,1)

Триангулированное подразделение

Триангулированные подразделения u ₁ to u ₆ на квадратной грани, повторяя структуру через каждые 3 шага с новыми уровнями треугольников

Операция u _n делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n - частотным подразделением Бакминстера Фуллера .

Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.

Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики . Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.

Примеры подразделений на кубе
Оператор	u ₁	u ₂ =u	u ₃ =x	u ₄ =uu	u ₅	u ₆ =ux	u ₇ =vrv	u ₈ =uuu	u ₉ =xx
Пример
Обозначение Конвея	от 2 февраля 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 16 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	u 5 C	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine
Вершины	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
Рёбра	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
Грани	f	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
Полная триангуляция
Оператор	u ₁ k	u ₂ k =uk	u ₃ k =xk	u ₄ k =uuk	u ₅ k	u ₆ k =uxk	u ₇ k =vrvk	u ₈ k =uuuk	u ₉ k =xxk
Пример
Конвей	от 5 февраля 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 16 марта 2017 на Wayback Machine	u 5 kC	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine	от 16 марта 2017 на Wayback Machine	от 15 марта 2017 на Wayback Machine
Двойственный Голдберга	{3,n+} _1,1	{3,n+} _2,2	{3,n+} _3,3	{3,n+} _4,4	{3,n+} _5,5	{3,n+} _6,6	{3,n+} _7,7	{3,n+} _8,8	{3,n+} _9,9

Геодезические многогранники

Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней G ( m , n ) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m ² + mn + n ² = ( m + n ) ² − mn . Построения ( m ,0) и ( m , m ) перечислены ниже обозначения операций Конвея.

Класс I

Для двойственных многогранников Голдберга оператор u _k определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u ₂ , а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer , c . Этот оператор используется в компьютерной графике , в . Оператор u ₃ задаётся оператором Конвея kt = x , а его сопряжённый оператор y = dxd = tk . Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или w w , даёт 7-подразделение в виде G(7,0), так что u ₇ = vrv . Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).

Class I: Операции подразделения на икосаэдре как геодезические многогранники
( m ,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(9,0)	(10,0)	(11,0)	(12,0)	(13,0)	(14,0)	(15,0)	(16,0)
T	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Операция Составной	u ₁	u ₂ = u = dcd	u ₃ = x = kt	u ₄ = u ₂ ² = dccd	u ₅	u ₆ = u ₂ u ₃ = dctkd	u ₇ = v v = dwrwd	u ₈ = u ₂ ³ = dcccd	u ₉ = u ₃ ² = ktkt	u ₁₀ = u ₂ u ₅	u ₁₁	u ₁₂ = u ₂ ² u ₃ = dccdkt	u ₁₃ v 3,1 v 3,1	u ₁₄ = u ₂ u ₇ = uv v = dcwrwd	u ₁₅ = u ₃ u ₅ = u 5 x	u ₁₆ = u ₂ ⁴ = dccccd
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {3,5+} _1,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _4,0	{3,5+} _5,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _6,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _7,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _8,0	от 8 января 2018 на Wayback Machine {3,5+} _9,0	{3,5+} _10,0	{3,5+} _11,0	от 10 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _12,0	{3,5+} _13,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _14,0	{3,5+} _15,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _16,0
Двойственный оператор		c	y = tk	cc	c 5	cy = ctk	w w = wrw	ccc	y ² = tktk	cc 5	c 11	ccy = cctk	w 3,1 w 3,1	cw w = cwrw	c 5 y	cccc
Додекаэдр Конвей	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {5+,3} _1,0	от 21 октября 2016 на Wayback Machine	от 21 октября 2016 на Wayback Machine	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _4,0	c 3 D {5+,3} _5,0	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _6,0	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _7,0	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _8,0	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {5+,3} _9,0	cc 5 D {5+,3} _10,0	c 11 D {5+,3} _11,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _12,0	w3,1rw3,1D {5+,3} _13,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _14,0	c 5 yD {5+,3} _15,0	от 9 января 2017 на Wayback Machine G{5+,3} _16,0

Класс II

Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n = kd . Оператор преобразует ( a , b ) в ( a +2 b , a - b ) для a > b . Он преобразует ( a ,0) в ( a , a ), а ( a , a ) в (3 a ,0). Оператор z = dk делает то же самое для многогранников Голдберга.

Класс II: Операции ортогонального подразделения
( m , m )	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(9,9)	(10,10)	(11,11)	(12,12)	(13,13)	(14,14)	(15,15)	(16,16)
T = m ² ×3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Операция	u ₁ n n = kd	u ₂ n = un = dct	u ₃ n = xn = ktkd	u ₄ n = u ₂ ² n = dcct	u ₅ n	u ₆ n = u ₂ = u ₃ n = dctkt	u ₇ n = v v n = dwrwt	u ₈ n = u ₂ ³ n = dccct	u ₉ n = u ₃ ² n = ktktkd	u ₁₀ n = u ₂ u ₅ n	u ₁₁ n	u ₁₂ n = u ₂ ² u ₃ n = dcctkt	u ₁₃ n	u ₁₄ n = u ₂ u ₇ n = dcwrwt	u ₁₅ n = u ₃ u ₅ n	u ₁₆ n = u ₂ ⁴ n = dcccct
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _1,1	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {3,5+} _2,2	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _3,3	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {3,5+} _4,4	{3,5+} _5,5	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _6,6	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _7,7	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _8,8	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _9,9	{3,5+} _10,10	{3,5+} _11,11	от 10 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _12,12	{3,5+} _13,13	от 9 января 2017 на Wayback Machine {3,5+} _14,14	{3,5+} _15,15	{3,5+} _16,16
Двойственный оператор	z = dk	cz = cdk	yz = tkdk	c ² z = ccdk	c5z	cyz = ctkdk	w w z = wrwdk	c ³ z = cccdk	y ² z = tktkdk	cc5z	c11z	c ² yz = c ² tkdk	c13z	cw w z = cwrwdk	c3c5z	c ⁴ z = ccccdk
Додекаэдр Конвей	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _1,1	от 7 апреля 2016 на Wayback Machine	от 30 декабря 2016 на Wayback Machine {5+,3} _3,3	от 7 апреля 2016 на Wayback Machine {5+,3} _4,4	{5+,3} _5,5	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _6,6	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _7,7	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _8,8	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _9,9	{5+,3} _10,10	G{5+,3} _11,11	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _12,12	{5+,3} _13,13	от 9 января 2017 на Wayback Machine G{5+,3} _14,14	{5+,3} _15,15	от 9 января 2017 на Wayback Machine {5+,3} _16,16

Класс III

Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n -whirl образует G( n , n -1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (= v olute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl . На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s , pentakis snub .

Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G( a , b ) в G( a +3 b ,2 a - b ) для a > b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G( a , b ) становится G(2 a +3 b , a -2 b ) для a >=2 b , и G(3 a + b ,2 b - a ) для a <2 b .

Класс III: Операции подразбиения на неравные части
Операция Составная	v _2,1 = v	v _3,1	v _3,2 = v 3	v _4,1 = vn	v _4,2 = vu	v _5,1	v _4,3 = v 4	v _5,2 = v 3 n	v _6,1	v _6,2 = v 3,1 u	v _5,3 = vv	v _7,1 = v 3 n	v _5,4 = v 5	v _6,3 = vx	v _7,2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей	{3,5+} _2,1	v 3,1 I {3,5+} _3,1	v 3 I {3,5+} _3,2	от 3 февраля 2017 на Wayback Machine {3,5+} _4,1	{3,5+} _4,2	{3,5+} _5,1	v 4 I {3,5+} _4,3	v 3 nI {3,5+} _5,2	{3,5+} _6,1	v 3,1 uI {3,5+} _6,2	{3,5+} _5,3	v 3 nI {3,5+} _7,1	v 5 I {3,5+} _5,4	от 8 января 2018 на Wayback Machine {3,5+} _6,3	v 7,2 I {3,5+} _7,2
Оператор	w	w 3,1	w 3	wz	wc	w 5,1	w 4	w 3,1 z	w 6,1	w 3,1 c	ww	w 3 z	w 5	wy	w 7,2
Додекаэдр Конвей	от 21 октября 2016 на Wayback Machine	w 3,1 D {5+,3} _3,1	w 3 D {5+,3} _3,2	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _4,1	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _4,2	w 5,1 D {5+,3} _5,1	w 4 D {5+,3} _4,3	w 3 zD {5+,3} _5,2	{5+,3} _6,1	w 3,1 cD {5+,3} _6,2	от 21 октября 2016 на Wayback Machine {5+,3} _5,3	w 3 zD {5+,3} _7,1	w 5 D {5+,3} _5,4	от 8 января 2018 на Wayback Machine {5+,3} _6,3	w 7,2 D {5+,3} _7,2

Другие операции класса III: Операции подразбиения на неравные части
Операция Составная	v _8,1	v _6,4 = v 3 u	v _7,3	v _8,2 = wcz	v _6,5 = v 6 = vrv 3,1	v _9,1 = vv 3,1	v _7,4	v _8,3	v _9,2	v _7,5	v _10,1 = v 4 n	v _8,4 = vuu	v _9,3 = v 3,1 x	v _7,6 = v 7	v _8,6 v 4 u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей	v 8,1 I {3,5+} _8,1	v 3 uI {3,5+} _6,4	v 7,3 I {3,5+} _7,3	vunI {3,5+} _8,2	vv3,1I {3,5+} _6,5	vrv3,1I {3,5+} _9,1	v 7,4 I {3,5+} _7,4	v 8,3 I {3,5+} _8,3	v 9,2 I {3,5+} _9,2	v 7,5 I {3,5+} _7,5	v 4 nI {3,5+} _10,1	vuuI {3,5+} _8,4	v 3,1 xI {3,5+} _9,3	v 7 I {3,5+} _7,6	v 4 uI {3,5+} _8,6
Оператор	w 8,1	wrw 3,1	w 7,3	w3,1c	wcz	w 3,1 w	w 7,4	w 8,3	w 9,2	w 7,5	w 4 z	wcc	w 3,1 y	w 7	w 4 c
Додекаэдр Конвей	w 8,1 D {5+,3} _8,1	w 3 cD {5+,3} _6,4	w 7,3 D {5+,3} _7,3	wczD {5+,3} _8,2	ww3,1D {5+,3} _6,5	wrw3,1D {5+,3} _9,1	w 7,4 D {5+,3} _7,4	w 8,3 D {5+,3} _8,3	w 9,2 D {5+,3} _9,2	w 7,5 D {5+,3} _7,5	w 4 zD {5+,3} _10,1	wccD {5+,3} _8,4	w 3,1 yD {5+,3} _9,3	w 7 D {5+,3} _7,6	w 4 cD {5+,3} _8,6

Примеры многогранников по симметрии

Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.

Тетраэдральная симметрия

tatT
stT
XT (10e)
dXT (10e)
m3T
b3T
dHccC
dFtO
FtO

Октаэдральная симметрия

от 4 января 2017 на Wayback Machine (2e)
cC (4e) от 4 января 2017 на Wayback Machine
(4e) от 4 января 2017 на Wayback Machine
от 4 января 2017 на Wayback Machine (4e)
(6e) от 4 января 2017 на Wayback Machine
от 4 января 2017 на Wayback Machine (6e)
m3C (6e)
m3O (6e)
b3C (6e)
b3O (6e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (6e)
qC (6e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (8e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (9e)
(12e) от 4 января 2017 на Wayback Machine
XO (10e)
XC (10e)
dXO (10e)
dXC (10e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (12e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (16e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (18e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (18e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (18e)
от 4 марта 2017 на Wayback Machine (22e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (48e)
от 16 января 2017 на Wayback Machine (49e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (64e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (81e)
H1taC
H2taC
dH1taC
dH2taC

Хиральные

от 4 января 2017 на Wayback Machine (7e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (10e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (10e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (10e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (15e)
от 4 января 2017 на Wayback Machine (15e)

Изоэдральная симметрия

от 3 марта 2017 на Wayback Machine = daD (2e)
kD (3e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
dkD=tI (3e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
cI (4e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
= cD (4e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
(4e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
(6e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (6e)
= akD (6e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (6e)
m3D (6e)
m3I (6e)
b3D (6e)
b3I (6e)
edaD (8e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
tkdD (9e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
gaD (10e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
XI (10e)
XD (10e)
dXI (10e)
dXD (10e)
(12e) от 3 марта 2017 на Wayback Machine
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (12e)
m3aI (12e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine = takD (18e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (18e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (18e)
m3tD (18e)
от 4 марта 2017 на Wayback Machine = t5t6otI (18e)
от 4 марта 2017 на Wayback Machine = k5k6etI (18e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (24e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (27e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (27e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (36e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine (36e)
от 3 марта 2017 на Wayback Machine
от 3 марта 2017 на Wayback Machine
dHtmD
F1taD
F2taD
dF1taD
dF2taD

Хиральные

dsD (5e)
sD (5e)
wD (7e)
(7e)
saD (10e)
saD (10e)
g3D (11e)
s3D (11e)
g3I (11e)
s3I (11e)
stI (15e)
stD (15e)
wtI (21e)
k5k6stI (21e)

Диэдральная симметрия

t4daA4=cA4
t4daA4=cA4 (side)
t4daA4=cA4 (top)
tA4
tA5
htA2
htA3=I
htA4
htA5
eP3 = aaP3
eA4 = aaA4

Тороидальная симметрия

Тороидальные мозаики существуют на плоском торе , на поверхности в четырёхмерном пространстве, но могут быть спроектированы в трёхмерное пространство как обычный тор . Эти мозаики топологически подобны подмножествам мозаик евклидовой плоскости.

1x1 правильный квадратный тор, {4,4} _1,0
Правильный 4x4 квадратный тор, {4,4} _4,0
tQ24×12 проекция на тор
taQ24×12 проекция на тор
actQ24×8 проекция на тор
tH24×12 проекция на тор
taH24×8 проекция на тор
kH24×12 проекция на тор

Евклидова квадратная симметрия

tQ
cQ
akQ
HdXQ
dHdXQ

Евклидова треугольная симметрия

tH
cΔ
cH
ctH
dakH
aaaH
aaaH, равносторонняя

См. также

Однородные многогранники
Алгоритмы компьютерной графики :
- – expand operator
- Алгоритм подразделения поверхности Катмулла — Кларка – оператор ortho

Примечания

. Дата обращения: 25 октября 2017. 24 ноября 2017 года.
, с. 63.

Литература

, Sculpture based on Propellorized Polyhedra , Proceedings of MOSAIC 2000, Seattle, WA, August, 2000, pp. 61–70 от 3 ноября 2017 на Wayback Machine
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 21: Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and Tilings // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
// World Academy of Science, Engineering and Technology 50. — 2009.
Anthony Pugh. Chapter 6, Geodesic polyhedral // . — 1976. — С. p.63.

Ссылки

от 29 ноября 2014 на Wayback Machine : generates polyhedra in VRML , taking Conway notation as input. Also includes helpful explanations of the operations.
- от 12 ноября 2020 на Wayback Machine
от 16 марта 2019 на Wayback Machine Livio Zefiro
от 25 апреля 2012 на Wayback Machine : generates polyhedra in HTML5 canvas, taking Conway notation as input
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
от 3 февраля 2018 на Wayback Machine от 9 апреля 2017 на Wayback Machine
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (truncate)
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (ambo)
Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld . (kis)
от 22 октября 2017 на Wayback Machine