4. Морфизм называется
аффинным
, если прообраз любого открытого аффинного подмножества аффинный. Важные классы аффинных морфизмов -
векторные расслоения
и
конечные морфизмы
.
Б
бирациональный морфизм
Бирациональный морфизм схем — это морфизм схем, который индуцирует изоморфизм их плотных открытых подмножеств. Пример бирационального морфизма — отображение, индуцируемое
.
Г
геометрический род
Геометрический род гладкого проективного многообразия
X
размерности
n
— это
1. Гладкие морфизмы — это многомерный аналог этальных морфизмов. Существует несколько различных определений гладкости. Следующие определения гладкости морфизма
f
:
Y
→
X
эквивалентны:
1) для любой точки
y
∈
Y
существуют открытые аффинные окрестности
V
и
U
точек
y
,
x
=
f
(
y
), соответственно, такие, что ограничение
f
на
V
раскладывается в композицию этального морфизма и проекции из
n
-мерного проективного пространства над
U
.
2)
f
плоский, локально конечно представимый, и для любой геометрической точки
в
Y
(морфизма из алгебраически замкнутого поля
в
Y
), геометрический слой
является гладким многообразием над
в смысле классической алгебраической геометрии.
2. Гладкая схема над
совершенным полем
k
— это регулярная схема локально конечного типа.
3. Схема
X
над полем
k
гладкая, если она геометрически гладкая: схема
гладкая.
группа Пикара
Группа Пикара
X
— это группа классов изоморфизма линейных расслоений на
X
, групповая операция в которой —
тензорное произведение
.
Д
доминантный
Морфизм
f
:
X
→
Y
называется доминантным, если образ
f
(
X
)
плотен
. Морфизм аффинных схем
Spec A
→
Spec B
доминантен, если и только если ядро соответствующего отображения
B
→
A
содержится в нильрадикале
B
.
имеет место для любого когерентного пучка
F
на
X
; например, если
X
— гладкое проективное многообразие, то это -
.
З
замкнутый
Замкнутые подсхемы
схемы
X
строятся при помощи следующей конструкции. Пусть
J
квазикогерентный пучок идеалов. Носитель факторпучка
- замкнутое подмножество
Z
в
X
и
- это схема, называемая
замкнутой подсхемой, определённой квазикогерентным пучком идеалов
J
. Причина того, что определение замкнутой подсхемы зависит от такой конструкции состоит в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутые подмножества схемы обладают не единственной структурой схемы.
К
каноническая модель
Каноническая модель — это
Proj
канонического кольца (предполагаемого конечно порождённым).
канонический
1. Канонический пучок на нормальном многообразии
X
размерности
n
— это пучок
дифференциальных форм степени
n
на подмножестве гладких точек
.
2. Канонический класс
на нормальном многообразии
X
— это класс дивизоров, такой, что
.
3. Канонический дивизор — это представитель канонического класса
, обозначаемый тем же символом (определённый не однозначно).
4. Каноническое кольцо на нормальном многообразии
X
— кольцо сечений канонического пучка.
Морфизм
f
:
Y
→
X
называется квазикомпактным, если для некоторого (а тогда и для любого) открытого аффинного покрытия
X
множествами
U
i
=
Spec B
i
, прообразы
f
−1
(
U
i
)
компактны
.
квазиконечный морфизм
Морфизм конечного типа, имеющий конечные слои.
квазиотделимый
Морфизм
f
:
Y
→
X
называется квазиотделимым, если диагональный морфизм
Y
→
Y
×
X
Y
квазикомпактен. Схема
Y
квазиотделима, если морфизм из неё в Spec(
Z
) квазиотделим
.
конечно представимый
Если
y
— точка
Y
, то морфизм
f
конечно представим в
y
, если существует открытая аффинная окрестность
U
точки
f(y)
и открытая аффинная окрестность
V
точки
y
, такая, что
f
(
V
) ⊆
U
и
— конечно представимая алгебра над
(фактор конечно порождённой алгебры по конечно порождённому идеалу). Морфизм
f
локально конечно представим, если он конечно представим во всех точках
Y
. Если
X
локально нётерова, то
f
локально конечно представим если и только если он локально конечного типа
.
Морфизм
f
:
Y
→
X
конечно представим, если он локально конечно представим, квазикомпактен и квазиотделим. Если
X
локально нётерова, то
f
конечно представим, если и только если он конечного типа.
конечный морфизм
Морфизм
f
:
Y
→
X
— конечный, если
можно покрыть открытыми аффинными множествами
, такими, что каждое
аффинно — имеет вид
— и
конечно порождён как
-модуль.
кольцо сечений
Кольцо сечений линейного расслоения
L
на схеме
X
— это градуированное кольцо
.
Многочлен Гильберта проективной схемы
X
над полем — это эйлерова характеристика
.
морфизм (локально) конечного типа
Морфизм
f
:
Y
→
X
локально конечного типа, если
можно покрыть открытыми аффинными подмножествами
, такими, что каждый прообраз
можно покрыть открытыми аффинными подмножествами
где каждое
конечно прождено как
-алгебра.
Морфизм
f
:
Y
→
X
конечного типа, если
можно покрыть открытыми аффинными подмножествами
, такими, что каждый прообраз
можно покрыть конечным числом открытых аффинных подмножества
, где каждое
конечно порождено как
-алгебра.
Н
неприводимая схема
Схема называется неприводимой, если она (как топологическое пространство), не является объединением двух собственных замкнутых подмножеств.
неразветвлённый морфизм
Для точки
, рассмотрим соответствующий морфизм олкальных колец
.
Пусть
— максимальный идеал
, и пусть
это идеал, порождённый образом
в
. Морфизм
называется неразветвлённым, если он локально конечного типа и для всех
,
— максимальный идеал кольца
и индуцированное отображение
Целая схема называется нормальной, если её локальные кольца
целозамкнуты
.
О
обильный
Обильное линейное расслоение — это линейное расслоение, некоторая тензорная степень которого очень обильна.
образ
Если
f
:
Y
→
X
— морфизм схем, то теоретико-схемный образ
f
— это однозначно определённая замкнутая подсхема
i
:
Z
→
X
, которая удовлетворяет следующему универсальному свойству:
f
пропускается через
i
,
если
j
:
Z
′ →
X
— любая замкнутая подсхема
X
, такая, что
f
пропускается через
j
, то
i
также пропускается через
j
.
отделимый
Отделимый морфизм — это морфизм
, такой, что диагональ расслоенного произведения
с собой замкнута.
Как следствие, схема
отделима, когда диагональное вложение
в схемное произведение
с собой является замкнутым вложением.
Заметим, что топологическое пространство
Y
хаусдорфово, если и только если диагональное вложение
замкнуто. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим случаем состоит в том, что топологическое пространство схемы
отличается от произведения топологических пространств.
Любая аффинная схема
Spec A
отделима, так как диагональ соответствует сюръективному отображению колец
.
открытая подсхема
Открытая подсхема схемы
X
- это открытое подмножество
U
со структурным пучком
.
очень обильный
Линейное расслоение
L
oна многообразии
X
очень обильно, если
X
может быть вложено в проективное пространство, так чтоо
L
будет ограничением
скручивающего пучка Серра
O
(1).
П
плоский морфизм
Морфизм, индуцирующий плоские отображения
слоёв
. Гомоморфизм колец
A
→
B
называется плоским, если он делает
B
плоским
A
-модулем.
плюрирод
n
-й плюрирод гладкого проективного многообразия — это
.
приведённая схема
Схема, локальные кольца которой не имеют ненулевых нильпотентов.
2. Проективная схема над схемой
S
— это
S
-схема, которая пропускается через некоторое проективное пространство
как замкнутая подсхема.
3. Проективные морфизмы определяются сходным образом с аффинными морфизмами:
f
:
Y
→
X
называется проективным, если он раскладывается в композицию замкнутого вложения и проекции проективного пространства
на
.
Р
раздутие
Раздутие — это бирациональное преобразование, которое заменяет замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Более точно, для нётеровой схемы
X
и замкнутой подсхемы
, раздутие
Z
в
X
- это собственный морфизм
, такой, что (1)
является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором и (2)
- универсальный объект со свойством (1).
Схема связна, если она
связна
как топологическое пространство.
Аффинная схема
Spec(R)
связна, если и только если кольцо
R
не имеет идемпотентов, кроме 0 и 1.
слой
Для морфизма схем
, слой
f
над
y
как множества — это прообраз
; он имеет естественную структуру схемы над
точки
y
как расслоенное произведение
, где
имеет естественную структуру схемы над
Y
как спктр поля вычетов точки
y
.
собственный морфизм
Отделимый универсально замкнутый морфизм конечного типа. Морфизм схем
f
:
X
→
Y
называется универсально замкнутым, если для любой схемы
Z
с морфизмом
Z
→
Y
проекция из расслоенного произведения
является замкнутым отображением топологических пространств (переводит замкнутые множества в замкнутые).
Схема
— это локально окольцованное пространство, и следовательно топологическое пространство, но слово
точка
имеет три значения:
точка
подлежащего топологического пространство;
-точка
— это морфизм из
в
, для любой схемы
;
геометрическая точка
схемы
, определённой над (с морфизмом в)
, где
—
поле
, это морфизм из
в
, где
—
алгебраическое замыкание
.
Ц
целая схема
Приведённая неприводимая схема. Для локально нётеровой схемы, быть целой эквивалентно тому, чтобы быть связной и покрытой спектрами
областей целостности
Э
этальный
Морфизм
f
:
Y
→
X
этальный, если он плоский и неразветвлённый. Существует несколько других эквивалентных определений. В случае гладких многообразий
и
над алгебраически замкнутым полем, этальные морфизмы — это морфизмы, индуцирующие изоморфизм касательных пространств
, что совпадает с обычным определением этальных отображений в дифференциальной геометрии.
эффективный дивизор Картье
Эффективный
дивизор Картье
на схеме
X
над
S
— это замкнутая подсхема
X
, которая является плоской над
S
и пучок идеалов которой
обратим
.
Хартсхорн Р.
Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. —
М.
: Мир, 1981.
(1998),
Intersection theory
, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 2, Berlin, New York:
Springer-Verlag
,
ISBN
978-3-540-62046-4
,
MR