Гипотеза Нагаты о кривых , названная именем Масаёси Нагаты , определяет минимальную степень, которую должна иметь плоская алгебраическая кривая , чтобы она проходила через набор точек общего вида с предписанными . Нагата пришёл к гипотезе во время работы над 14-ой проблемой Гильберта , которая спрашивает, является ли кольцо инвариантов для действия линейной группы на кольцо многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] над некоторым полем k ^* . Нагата опубликовал гипотезу в статье 1959 года в журнале American Journal of Mathematics , в которой он привёл контрпример к 14-й гипотезе Гильберта.

Гипотеза Нагаты. Предположим, что p ₁ , ..., p _r являются точками в общем положении на P ² и что m ₁ , ..., m _r — заданные положительные целые числа. Тогда для r > 9 любая кривая C в P ² , которая проходит через каждую точку p _i с кратностью m _i должна удовлетворять неравенству

${\displaystyle \deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.}$

Единственный случай, для которого известно, что это неравенство выполняется, это когда r является полным квадратом, что доказал Нагата . Несмотря на большой интерес, остальные случаи остаются открытыми. Более современная формулировка гипотезы часто даётся в терминах и обобщена на другие поверхности (под названием ).

Условие r > 9 , как легко видеть, является необходимым. В зависимости от того, r > 9 или r ≤ 9 , на раздутии P ² в r точках будет или нет.

Литература