Interested Article - Когомологии де Рама

Когомологии де Рама — теория когомологий , основанная на дифференциальных формах , и применяемая в теориях гладких и алгебраических многообразий .

Названы в честь швейцарского математика де Рама . $k$ $k$ -мерная группа когомологий де Рама многообразия $M$ $M$ обычно обозначается $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$ .

Гладкие многообразия

Определения

Через коцепной комплекс

Комплексом де Рама называется коцепной комплекс внешних дифференциальных форм на гладком многообразии $M$ $M$ с внешним дифференциалом $d\,^{k}$ $d\,^{k}$ в качестве дифференциала.

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{\to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Здесь $\Omega ^{0}(M)$ $\Omega ^{0}(M)$ — пространство гладких функций на $M$ $M$ , $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{1}(M)$ — пространство 1-форм , то есть $\Omega ^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ — пространство $k$ $k$ -форм. Заметим, что $d^{k+1}d^{k}=0$ $d^{k+1}d^{k}=0$ . $k$ $k$ -мерная группа когомологий $H^{k}$ $H^{k}$ этого коцепного комплекса является его мерой точности в $k$ $k$ -м члене и определяется как

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1}.

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\operatorname {Ker} d^{k}/\operatorname {Im} d^{k-1}.

Форма $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ называется замкнутой , если $d^{k}\alpha =0$ $d^{k}\alpha =0$ , в этом случае $\alpha \in \operatorname {Ker} d^{k}$ $\alpha \in \operatorname {Ker} d^{k}$ .
Форма $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ называется точной , если $\alpha =d^{k-1}\gamma$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ , для некоторой $\gamma \in \Omega ^{k-1}$ $\gamma \in \Omega ^{k-1}$ , то есть $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$ $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$ .

Заметим, что всякая точная форма является замкнутой.

Как класс эквивалентности форм

Более геометрически, идея когомологий де Рама состоит в том, чтобы классифицировать замкнутые формы на многообразии: две замкнутые формы $\alpha$ $\alpha$ и $\beta$ $\beta$ в $\Omega ^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ называются когомологичными , если они отличаются на точную форму, то есть их разность $\alpha -\beta =d\gamma$ $\alpha -\beta =d\gamma$ является точной формой. Это определение порождает отношение эквивалентности на множестве замкнутых форм в $\Omega ^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ .

Когомологическим классом $[\alpha ]$ $[\alpha ]$ формы $\alpha$ $\alpha$ называется множество всех замкнутых форм, отличающихся от $\alpha$ $\alpha$ на точную форму — то есть множество форм вида $\alpha +d\gamma$ $\alpha +d\gamma$ .

$k$ $k$ -мерная группа когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ — это факторгруппа всех замкнутых форм в $\Omega ^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ по подгруппе точных форм.

Заметим, что для многообразия $M$ $M$ , имеющего $N$ $N$ связных компонент ,

H_{\mathrm {dR} }^{0}(M)\cong \mathbf {R} ^{N}.

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Действительно, формы степени 0 — это скалярные функции. Замкнутость означает, что функции имеют нулевую производную, то есть постоянны на каждой компоненте связности многообразия.

Теорема де Рама

Теорема Стокса является выражением двойственности между когомологиями де Рама и гомологиями цепных комплексов . А именно, ключевое следствие из теоремы состоит в том, что « интегралы от замкнутой формы по гомологичным цепям равны»: если $\omega$ $\omega$ — замкнутая $k$ $k$ -форма, а $M$ $M$ и $N$ $N$ — гомологичные $k$ $k$ -цепи (то есть $M-N$ $M-N$ является границей $(k+1)$ $(k+1)$ -мерной цепи $W$ $W$ ), то

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

поскольку их разность есть интеграл

\int \limits _{\partial W}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Таким образом, спаривание дифференциальных форм и цепей посредством интегрирования определяет гомоморфизм из когомологий де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ в группу сингулярных когомологий $H^{k}(M;\;\mathbf {R})$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ . Теорема де Рама , доказанная Жоржем де Рамом в 1931 году, утверждает, что на гладких многообразиях это отображение является изоморфизмом :

H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;\mathbf {R}).

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Внешнее произведение наделяет прямую сумму групп $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ структурой кольца . Аналогичную структуру в сингулярных когомологиях $H^{k}(M;\;\mathbf {R})$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ задаёт $\smile$ $\smile$ -умножение. Теорема де Рама утверждает также, что эти два кольца когомологий изоморфны как градуированные кольца .

Алгебраические многообразия

Определение

Совершенно аналогично гладкому случаю, с каждым алгебраическим многообразием $X$ $X$ над полем $k$ $k$ связывается комплекс регулярных дифференциальных форм .

Группами когомологий де Рама многообразия $X$ $X$ называются группы когомологий $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/k)$ .

Частные случаи когомологий де Рама

Если $X$ $X$ является гладким и , а характеристика поля $\mathrm {char} \,k=0$ ${\mathrm {char}}\,k=0$ , то когомологии де Рама являются .
Если многообразие $X$ $X$ есть гладкое аффинное многообразие , а поле $k=\mathbb {C}$ $k=\mathbb {C}$ , то справедлив следующий аналог теоремы де Рама :

$H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{an},\;\mathbb {C}),$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

где

X_{an}

X_{{an}}

— комплексное аналитическое многообразие, соответствующее алгебраическому многообразию

X

X

.

Например, если $X$ $X$ — дополнение к алгебраической гиперповерхности в $P^{n}(\mathbb {C})$ $P^{n}(\mathbb {C})$ , то когомологии $H^{p}(X,\;\mathbb {C})$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C})$ могут быть вычислены при помощи рациональных дифференциальных форм на $P^{n}(\mathbb {C})$ $P^{n}(\mathbb {C})$ с полюсами на этой гиперповерхности.

Относительные когомологии де Рама

Для любого морфизма $f\colon X\to S$ $f\colon X\to S$ можно определить так называемый относительный комплекс де Рама

\sum _{p\leqslant 0}\Gamma (\Omega _{X/S}^{p}),

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

приводящий к относительным когомологиям де Рама $H_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ .

В случае, если многообразие $X$ $X$ является спектром кольца $\mathrm {Spec} \,A$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ , а $S=\mathrm {Spec} \,B$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ , то относительный комплекс де Рама совпадает с $\Lambda \Omega _{A/B}^{1}$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$ .

Когомологии ${\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{p}(X/S)$ ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ комплекса пучков $\sum _{p\leqslant 0}f_{*}\Omega _{X/S}^{p}$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ на $S$ $S$ называется пучками относительных когомологий де Рама . Eсли $f$ $f$ — собственный морфизм, то эти пучки когерентны на $S$ $S$ .

Литература

Ботт, Р., Ту, Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М. : Платон, 1997. — 336 с. — ISBN 5-80100-280-4 . .
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М. : Наука, 1984. — 343 с.
де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия = Varietes differentiables. — M.: КомКнига, 2006. — 250 с. — ISBN 5-484-00341-5 . .