Самоподобный объект — объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого (то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Многие объекты реального мира, например, береговые линии, обладают свойством статистического самоподобия : их части статистически однородны в разных шкалах измерения. Самоподобие есть характеристическое свойство фрактала .

Инвариантность относительно изменения шкалы является одной из форм самоподобия, при которой при любом приближении найдётся по крайней мере одна часть основной фигуры, подобная целой фигуре.

Определение

Компактное топологическое пространство X самоподобно, если существует конечное множество S , индексирующее набор несюръективных отображений ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S},}$ для которых

${\displaystyle X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Если ${\displaystyle X\subset Y}$ , то X называется самоподобным, если оно является единственным непустым подмножеством Y , для которого вышеприведённое уравнение выполняется при заданном семействе ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$ . В таком случае

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})}$

именуется самоподобной структурой . Можно проитерировать данные отображения так, что в результате получится система итерированных функций. Композиция функций порождает алгебраическую структуру моноида . В случае, если множество S содержит всего два элемента, моноид называется диадическим. Диадический моноид можно визуально представить в виде бесконечного бинарного дерева; вообще, если множество S имеет p элементов, моноид может быть представлен в виде p -адического дерева.

Группа автоморфизмов диадического моноида является модулярной; автоморфизмы могут быть визуализированы как гиперболическое вращение бинарного дерева.

Примеры

Самоподобие имеет важные приложения в построении компьютерных сетей, так как типичный сетевой поток обладает аналогичным свойствами. Например, в телефонии потоки пакетных данных почти статистически самоподобны. Наличие данного свойства означает, что простые модели, использующие пуассоновское распределение, неточны, и сети, построенные без учёта самоподобия, могут функционировать в непредсказуемых режимах.

Движение цен на фондовом рынке также демонстрирует самоподобие, так как представляется вполне обоснованным считать графики приближённо повторяющимися при изменении масштаба (скважности, периодичности).

См. также

• Подобие
• Мера
• Орнамент
• Докучная сказка
• Рефлексивное отношение
• Рефлексный двоичный код Грея
• Рекурсия
• Рефрен
• Симметрия

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 7 июня 2019 )