Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп .

Простая группа — это группа G , не содержащая каких-либо нормальных подгрупп , отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа , иногда она также считается спорадической и в этом случае является 27-й спорадической группой.

Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или все, за исключением шести, другие спорадические группы.

Имена спорадических групп

Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано , что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование.

Полный список групп:

• группы Матьё , , , ,
• группы Янко , J ₂ или HJ , ,
• Группы Конвея Co ₁ , ,
• Группы Фишера , ,
• HS
• McL
• He или F ₇₊ , или F ₇
• Группа Рудвалиса Ru
• Suz или F ₃₋
• O’N
• HN или F ₅₊ , или F ₅
• Ly
• Th или F _3|3 , или F ₃
• B или F ₂₊ , или F ₂
• Группа «Монстр» Фишера-Грейса M или F ₁

Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа.

Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями.

Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда , где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали».

Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана . Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа.

Система

Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или .

I. Парии

Шесть исключений J ₁ , J ₃ , J ₄ , O’N , Ru и Ly иногда называют .

II. Счастливое Семейство

Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал ) и их можно разбить на три поколения.

Первое поколение (5 групп) — группы Матьё

Группы M _n для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M ₂₄ , которая является группой перестановок 24 точек.

Второе поколение (7 групп) — решётка Лича

Все группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича :

• Co ₁ — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1}
• Co ₂ — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2)
• Co ₃ — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины √6)
• Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра)
• McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3
• HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3
• J ₂ — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру).

Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра

Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M :

• B или F ₂ имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M
• Fi ₂₄ ′ имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M ( класс сопряжённости «3A»)
• Fi ₂₃ является подгруппой Fi ₂₄ ′
• Fi ₂₂ имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi ₂₃
• Произведение Th = F ₃ и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M ( класс сопряжённости «3C»)
• Произведение HN = F ₅ и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M
• Произведение He = F ₇ и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M .
• Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению.

(Эта серия продолжается и дальше — произведение M ₁₂ и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M .)

Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа ${\displaystyle S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}}$ , нормализующая 2C ² подгруппу B , порождающая подгруппу ${\displaystyle 2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$ , нормализующую некоторую подгруппу Q ₈ Монстра. ${\displaystyle {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$ является также подгруппой групп Фишера Fi ₂₂ , Fi ₂₃ и Fi ₂₄ ′ и «малого Монстра» B . ${\displaystyle {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$ является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше.

Таблица порядков спорадических групп

Группа	Поколение	Порядок (последовательность в OEIS )	Значащих цифр	Разложение	Тройка Стандартных генераторов (a, b, ab)	Другие условия
F 1 или M	третье	8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000	≈ 8⋅10 53	2 46 • 3 20 • 5 9 • 7 6 • 11 2 • 13 3 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71	2A, 3B, 29
	третье	4154781481226426191177580544000000	≈ 4⋅10 33	${\displaystyle 2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47}$	2C, 3A, 55	${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23}$
	третье	1255205709190661721292800	≈ 1⋅10 24	2 21 • 3 16 • 5 2 • 7 3 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29	2A, 3E, 29	${\displaystyle o((ab)^{3}b)=33}$
	третье	4089470473293004800	≈ 4⋅10 18	2 18 • 3 13 • 5 2 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23	2B, 3D, 28
	третье	64561751654400	≈ 6⋅10 13	2 17 • 3 9 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2A, 13, 11	${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12}$
	третье	90745943887872000	≈ 9⋅10 16	2 15 • 3 10 • 5 3 • 7 2 • 13 • 19 • 31	2, 3A, 19
	пария	51765179004000000	≈ 5⋅10 16	2 8 • 3 7 • 5 6 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67	2, 5A, 14	${\displaystyle o(ababab^{2})=67}$
	третье	273030912000000	≈ 3⋅10 14	2 14 • 3 6 • 5 6 • 7 • 11 • 19	2A, 3B, 22	${\displaystyle o([a,b])=5}$
Co 1	второе	4157776806543360000	≈ 4⋅10 18	2 21 • 3 9 • 5 4 • 7 2 • 11 • 13 • 23	2B, 3C, 40
	второе	42305421312000	≈ 4⋅10 13	2 18 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 5A, 28
	второе	495766656000	≈ 5⋅10 11	2 10 • 3 7 • 5 3 • 7 • 11 • 23	2A, 7C, 17
	пария	460815505920	≈ 5⋅10 11	2 9 • 3 4 • 5 • 7 3 • 11 • 19 • 31	2A, 4A, 11
	второе	448345497600	≈ 4⋅10 11	2 13 • 3 7 • 5 2 • 7 • 11 • 13	2B, 3B, 13	${\displaystyle o([a,b])=15}$
Ru	пария	145926144000	≈ 1⋅10 11	2 14 • 3 3 • 5 3 • 7 • 13 • 29	2B, 4A, 13
	третье	4030387200	≈ 4⋅10 9	2 10 • 3 3 • 5 2 • 7 3 • 17	2A, 7C, 17
	второе	898128000	≈ 9⋅10 8	2 7 • 3 6 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11	${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7}$
	второе	44352000	≈ 4⋅10 7	2 9 • 3 2 • 5 3 • 7 • 11	2A, 5A, 11
	пария	86775571046077562880	≈ 9⋅10 19	2 21 • 3 3 • 5 • 7 • 11 3 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43	2A, 4A, 37	${\displaystyle o(abab^{2})=10}$
	пария	50232960	≈ 5⋅10 7	2 7 • 3 5 • 5 • 17 • 19	2A, 3A, 19	${\displaystyle o([a,b])=9}$
J 2 или HJ	второе	604800	≈ 6⋅10 5	2 7 • 3 3 • 5 2 • 7	2B, 3B, 7	${\displaystyle o([a,b])=12}$
	пария	175560	≈ 2⋅10 5	2 3 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19	2, 3, 7	${\displaystyle o(abab^{2})=19}$
	первое	244823040	≈ 2⋅10 8	2 10 • 3 3 • 5 • 7 • 11 • 23	2B, 3A, 23	${\displaystyle o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4}$
	первое	10200960	≈ 1⋅10 7	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11 • 23	2, 4, 23	${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8}$
	первое	443520	≈ 4⋅10 5	2 7 • 3 2 • 5 • 7 • 11	2A, 4A, 11	${\displaystyle o(abab^{2})=11}$
	первое	95040	≈ 1⋅10 5	2 6 • 3 3 • 5 • 11	2B, 3B, 11
	первое	7920	≈ 8⋅10 3	2 4 • 3 2 • 5 • 11	2, 4, 11	${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4}$

Примечания

Литература

• William Burnside. Theory of groups of finite order. — 1911. — С. 504 (note N). — ISBN 0-486-49575-2 .
• Conway J. H. // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1968. — Т. 61 , вып. 2 . — С. 398–400 . — doi : .
• Conway J. H. , Curtis R. T., Norton S. P., Wilson R. A. Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups. With computational assistance from J. G. Thackray. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853199-0 .
• Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The Classification of the Finite Simple Groups. — American Mathematical Society , 1994. Выпуски , , …
• Robert L. Griess. . — Springer-Verlag, 1998. — ISBN 3540627782 .
• Mark Ronan. . — Oxford, 2006. — ISBN 978-0-19-280722-9 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .