Э́ллиот Ге́ршель Либ ( англ. Elliott Hershel Lieb , род. 31 июля 1932 года ) — американский математик и физик , профессор Принстонского университета . Труды преимущественно в области математической физики , статистической механики , теории конденсированного состояния и функционального анализа . В частности, внёс вклад в такие темы, как квантовая механика , классическая проблема многих тел , структура атома , стабильность материи , функциональные неравенства , теория магнетизма , модель Хаббарда . Всего опубликовал более 400 книг и статей .

Эллиот Либ является членом Национальной академии наук США и дважды (1982—1984 и 1997—1999) занимал пост президента . В 2012 году принят в члены Американского математического общества , а в 2013 году стал иностранным членом Лондонского Королевского общества . Почётный член Австрийской, Датской, Чилийской академий наук и Academia Europaea .

Награждён множеством премий и других отличий по математике и физике .

Биография

Родидся в 1932 году в Бостоне , штат Массачусетс . В 1953 году получил степень бакалавра по физике в Массачусетском технологическом институте . В 1956 году получил докторскую степень по математической физике в британском Бирмингемском университете .

После этого, в 1956—1957 годах, Либ был стипендиатом программы Фулбрайта в японском Киотском университете . С 1960 по 1963 год он работал штатным физиком-теоретиком в корпорации IBM . В 1963—1966 годах — адъюнкт-профессор физики в израильском Иешива-университете , затем два года провёл в Северо-восточном университете Иллинойса . С 1968 по 1975 годы был профессором в Массачусетском технологическом институте . С 1975 года — профессор в Принстоне .

Жена — Кристиана Феллбаум, также профессор Принстонского университета ..

В течение многих лет Либ отказывался от стандартной практики передачи авторских прав на свои исследовательские статьи академическим издательствам. Вместо этого он ограничивался тем, что давал издателям своё согласие на публикацию.

Научная деятельность

Эллиот Либ внёс фундаментальный вклад как в теоретическую физику, так и в математику. В данном разделе представлены лишь некоторые из его достижений. Основные исследовательские работы Либа собраны в четырёх томах сборников ( Selecta ) . Более подробную информацию можно также найти в двух книгах, изданных EMS Press в 2022 году по случаю его 90-летия .

Статистическая механика, разрешимые системы

Либ известен многими новаторскими результатами в статистической механике , касающимися, в частности, разрешимых систем. Его многочисленные работы собраны в сборниках « Статистическая механика » и « Физика конденсированного состояния и точно решаемые модели » , а также в книге Дэниела Мэттиса . Они рассматривают (среди прочего) модели типа Изинга , модели ферромагнетизма и сегнетоэлектричества , точное решение 6-вершинных моделей для двумерной "ледяной модели", одномерный дельта-бозе-газ (теперь называемый ) и модель Хаббарда .

Вместе с Дэниелом Мэттисом и Теодором Шульцем он решил в 1964 году двумерную модель Изинга (с новым выводом точного решения Ларса Онсагера посредством передаточных матриц) и в 1961 году , явно решаемую одномерную модель со спином 1/2. В 1968 году вместе с Фа-Юэ Ву он дал точное решение одномерной модели Хаббарда.

В 1971 году он и Невилл Темперли представили алгебру Темперли-Либа для построения определённых передаточных матриц. Эта алгебра также связана с теорией узлов и группой кос , квантовыми группами и субфакторами алгебр фон Неймана .

Вместе с Дереком В. Робинсоном в 1972 году он вывел ограничения на скорость распространения информации в нерелятивистских спиновых системах с локальными взаимодействиями. Они стали известны как и играют важную роль, например, в определении границ ошибок в или в квантовых вычислениях . Их можно использовать для доказательства экспоненциального убывания корреляций в спиновых системах или для утверждений о превышении над основным состоянием в многомерных спиновых системах (обобщённые теоремы Либа-Шульца-Маттиса).

В 1972 году он и Мэри Бет Раскей доказали сильную , теорему, которая является фундаментальной для квантовой теории информации . Это тема тесно связана с тем, что известно как в квантовой теории информации. Доказательство сильной субаддитивности Либа—Раскей основано на более ранней статье, в которой Либ доказал несколько важных гипотез об операторных неравенствах, включая гипотезу Вигнера-Янасе-Дайсона .

В 1997—1999 годах Либ вместе с Якобом Ингвасоном представил чрезвычайно оригинальную строгую трактовку увеличения энтропии во втором законе термодинамики и .

Квантовые системы многих тел и стабильность материи

В 1975 году Либ и Вальтер Тирринг нашли доказательство стабильности материи, которое было короче и более концептуально, чем доказательство Фримена Дайсона и Эндрю Ленарда от 1967 года. Их доказательство основан на новом неравенстве в спектральной теории, которое стало известно как . Последнее стало стандартным инструментом при изучении больших фермионных систем, например, для (псевдо-)релятивистских фермионов во взаимодействии с классическими или квантованными электромагнитными полями. С математической стороны неравенство Либа-Тирринга также вызвало огромный интерес к спектральной теории операторов Шрёдингера . Эта плодотворная исследовательская программа привела ко многим важным результатам, которые можно прочитать в его сборнике «Стабильность материи: от атомов к звездам» , а также в его книге «Стабильность материи в квантовой механике» (с Робертом Сейрингером) .

Основываясь на оригинальной теореме Дайсона-Ленарда об устойчивости материи, Либ вместе с Джоэлем Лебовицем уже в 1973 году представили первое доказательство существования термодинамических функций для квантовой материи. Вместе с Хайде Нарнхофер он сделал то же самое для электронного газа , что легло в основу большинства функционалов в теории функционала плотности .

В 1970-е годы Либ и Барри Саймон изучили несколько нелинейных приближений уравнения Шрёдингера для многих тел, в частности метод Хартри — Фока и модель атомов Томаса-Ферми . Они представили первое строгое доказательство того, что последняя даёт ведущий порядок энергии для больших нерелятивистских атомов. Вместе с Рафаэлем Бенгурией и Хаимом Брезисом он изучил несколько вариантов модели Томаса-Ферми.

Проблема ионизации в математической физике требует определения строгой верхней границы числа электронов, которые может связать атом с данным ядерным зарядом. Экспериментальные и численные данные, по-видимому, предполагают, что может быть не более одного или, возможно, двух дополнительных электронов. Строгое доказательство этого утверждения — открытая проблема. Аналогичный вопрос можно задать и относительно молекул. Либ доказал известную верхнюю границу числа электронов, которые может связать ядро. Позднее, вместе с Исраэлем Майклом Сигалом, Барри Саймоном и Вальтером Тиррингом , он впервые доказал, что избыточный заряд асимптотически мал по сравнению с ядерным зарядом.

Вместе с Якобом Ингвасоном он дал строгое доказательство формулы для энергии основного состояния разрежённых бозе-газов. Впоследствии вместе с Робертом Зайрингером и Якобом Ингвасоном он изучал уравнение Гросса-Питаевского для энергии основного состояния разрежённых бозонов в ловушке, начиная с квантовой механики многих тел . Работы Либа с Джозефом Конлоном и Хорнг-Цер Яу, а также с Яном Филипом Соловеем над тем, что известно как «закон ${\displaystyle N^{7/5}}$ для бозонов» дают первое строгое обоснование теории спаривания Боголюбова.

В квантовой химии Либ известен тем, что в 1983 году представил первую строгую формулировку теории функционала плотности с использованием средств выпуклого анализа . Универсальный функционал Либа дает наименьшую энергию кулоновской системы с заданным профилем плотности для смешанных состояний. В 1980 году он вместе со Стивеном Оксфордом доказал , которое даёт оценку минимально возможной классической кулоновской энергии при фиксированной плотности и позже использовалось для калибровки некоторых функционалов, таких как PBE и SCAN. Позднне, вместе с Матье Левином и Робертом Зайрингером он дал первое строгое обоснование приближения локальной плотности для медленно меняющихся плотностей .

Математический анализ

В 1970-е годы Либ занялся вариационным исчислением и дифференциальными уравнениями в частных производных , и внёс в эти разделы математики фундаментальный вклад.

Важной темой был поиск лучших приближений для констант в нескольких неравенствах функционального анализа , которые Либ затем использовал для строгого изучения нелинейных квантовых систем. Его результаты в этом направлении собраны в сборнике Неравенства . Среди неравенств, в которых он определил точные параметры, — неравенство Юнга и неравенство Харди — Литтлвуда — Соболева, которые будут обсуждаться ниже. Он также разработал инструменты, которые сейчас считаются стандартными в анализе, такие как или , которая дает недостающий член в лемме Фату для последовательностей функций, сходящихся почти везде.

Вместе с Хермом Браскэмпом и Хоакином Латтингером он доказал в 1974 году обобщение упомянутого выше перестановочного неравенства, установив, что некоторые полилинейные интегралы увеличиваются, когда все функции заменяются их . Вместе с Фредериком Альмгреном он прояснил свойства непрерывности перестановки. Перестановка часто используется для доказательства существования решений в некоторых нелинейных моделях.

В двух известных работах (одна в 1976 году с Гермом Браскэмпом и еще одна в одиночку в 1990 году) Либ установил справедливость и определил наилучшие константы для целого семейства неравенств, которое обобщает, например, неравенство Гёльдера , и . Оно теперь известно как . Суть в том, что наилучшая константа определяется случаем, когда все функции являются гауссианами . Неравенство Браскампа — Либа нашло приложения и обобщения, например, в гармоническом анализе .

Используя перестановочные неравенства и методы компактности, Либ доказал в 1983 году существование оптимизаторов для и . Он также определил наилучшую константу в некоторых случаях, обнаружив и используя конформную инвариантность проблемы и связав её с помощью стереографической проекции с конформно эквивалентной, но более разрешимой проблемой на сфере. Новое доказательство (без перестановок) было предоставлено позже Рупертом Франком, что позволило рассмотреть случай группы Гейзенберга .

В 1977 году Либ доказал единственность (с точностью до симметрии) основного состояния для уравнения Шокара — Пекара, также называемого , которое может описывать самогравитирующий объект или электрон, движущийся в поляризуемая среда ( полярон ). Вместе с Лоуренсом Томасом он предоставил в 1997 году вариационный вывод уравнения Шокара — Пекара из модели квантовой теории поля ( гамильтониан Фрёлиха ). Эта проблема была решена ранее Монро Донскер и Шриниваса Варадхан с использованием метода интеграла по вероятностным путям.

В другой работе с Хермом Браскампом в 1976 году Либ распространил на другие типы выпуклых комбинаций двух положительных функций. Он усилил это неравенство и неравенство Брунна — Минковского , введя понятие существенного сложения .

Либ также написал вызвавшие общий интерес статьи о гармонических отображених, в том числе с Фредериком Альмгреном , Хаимом Брезисом и Жаном-Мишелем Короном . В частности, Альгрем и Либ доказали ограничение на число особенностей минимизирующих энергию гармонических отображений.

Наконец, следует упомянуть его учебник «Анализ» с Майклом Лоссом . Он стал стандартом для аспирантов по математическому анализу. Он развивает все традиционные методы анализа в краткой, интуитивно понятной форме с упором на приложения.

Награды и почести

Эллиот Либ награждён множеством премий по математике и физике. Среди них:

• Премия Дэнни Хайнемана в области математической физики Американского физического общества и Американского института физики (1978) .
• Медаль имени Макса Планка Немецкого физического общества (1992) .
• Медаль Больцмана Международного союза теоретической и прикладной физики (1998) .
• Премия Рольфа Шока (2001) .
• Австрийский почётный знак «За науку и искусство» (2002) .
• Премия Пуанкаре Международной ассоциации математической физики (2003) .
• (2021) .

В 2022 году Либ получил несколько наград. Первой стала медаль Американского физического общества за выдающиеся достижения в исследованиях за «крупный вклад в теоретическую физику путём получения точных решений важных физических проблем, которые повлияли на физику конденсированного состояния, квантовую информацию, статистическую механику и атомную физику» . Второй наградой стала Премия Гаусса на Международном конгрессе математиков «за глубокий математический вклад исключительной широты, который сформировал области квантовой механики, статистической механики, вычислительной химии и квантовой теории информации» . Наконец, в 2022 году Либ получил медаль Дирака ICTP , совместно с Джоэлем Лебовицем и Дэвидом Рюэлем .

Основные труды

Книги

• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert . The stability of matter in quantum mechanics. Cambridge University Press , 2010 ISBN 978-0-521-19118-0
• Lieb, Elliott H.; Loss, Michael . Analysis. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997. xviii+278 pp. ISBN 0-8218-0632-7
• Lieb, Elliott H.; Seiringer, Robert; Solovej, Jan Philip; Yngvason, Jakob . The mathematics of the Bose gas and its condensation. Oberwolfach Seminars, 34. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005. viii+203 pp. ISBN 978-3-7643-7336-8 ; 3-7643-7336-9

Сборники статей

• Statistical mechanics. Selecta of Elliott H. Lieb . Edited, with a preface and commentaries, by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+505 pp. ISBN 3-540-22297-9
• Condensed matter physics and exactly soluble models. Selecta of Elliott H. Lieb . Edited by B. Nachtergaele, J. P. Solovej and J. Yngvason. Springer-Verlag, Berlin, 2004. x+675 pp. ISBN 3-540-22298-7
• The Stability of Matter: From Atoms to Stars. Selecta of Elliott H. Lieb (4th edition). Edited by W. Thirring, with a preface by F. Dyson. Springer-Verlag, Berlin, 2005. xv+932 pp. ISBN 978-3-540-22212-5
• Inequalities. Selecta of Elliott H. Lieb . Edited, with a preface and commentaries, by M. Loss and M. B. Ruskai. Springer-Verlag, Berlin, 2002. xi+711 pp. ISBN 3-540-43021-0

Как редактор

• Lieb, Elliott H., Mattis, Daniel C. , editors. Mathematical Physics in One Dimension: Exactly Soluble Models of Interacting Particles , Academic Press, New York, 1966. ISBN 978-0-12-448750-5 .

Другие труды

• . Edited by R. L. Frank, A. Laptev, M. Lewin and R. Seiringer. EMS Press, July 2022, 1372 pp. ISBN 978-3-98547-019-8

См. также

• Алгебра Темперли — Либа
• Модель Хаббарда , уравнения Либа — Ву
• Энтропия

Примечания

Ссылки

• в Принстоне.
• (англ.) . Princeton University, Department of Mathematics .