Пье́тро Анто́нио Ката́льди ( итал. Pietro Antonio Cataldi ; 15 апреля 1548 ( 1548-04-15 ) — 1626 ) — итальянский математик , автор более 30 трудов по математике. Впервые ввёл в математику понятие о непрерывных дробях ( 1613 ). Открыл шестое и седьмое совершенные числа (1588 год). Почётный гражданин города Болонья .

Биография

Пьетро Катальди родился и получил образование в Болонье , затем с 1569 по 1570 год преподавал во Флоренции . В 1572 году отправился в Перуджу , где на протяжении 12 лет преподавал математику. Он одним из первых преподавал математику как самостоятельную дисциплину, причём читал лекции, вопреки традиции, не на латыни, а на итальянском языке (большинство его работ также написаны на итальянском языке). Одновременно с преподаванием математики Катальди читал лекции в Академии художеств Перуджи. По отзывам современников, Катальди славился как первоклассный поэт, фехтовальщик и наездник .

В 1584 году Катальди вернулся в родную Болонью, где получил докторскую степень по философии и медицине. В Болонье он в качестве профессора преподавал математику и астрономию почти сорок лет, до конца жизни, читал лекции по античным классикам ( Евклид , Клавдий Птолемей ) .

Тем временем Катальди получил важные новые результаты, касающиеся совершенных чисел . Но в 1594 году у него украли рукопись, и ему пришлось воссоздать работу с нуля (опубликована в Болонье в 1603 году. под названием «Трактат о совершенных числах») .

Катальди умер в Болонье 11 февраля. 1626 года. Наследников он не оставил. Согласно завещанию, в его доме была открыта школа-интернат для бедных учеников, которой он оставил всё своё имущество .

Научная деятельность

В своём «Трактате о кратчайшем способе нахождения квадратного корня из чисел» ( итал. Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri, et regole da approssimarsi di continuo al vero nelle radici de' numeri non quadrati , Болонья, 1613 ) Катальди первым в мире ввёл понятие непрерывных дробей (сам термин появился позже) и дал для них обозначение, напоминающее современное .

Катальди описал алгоритм извлечения квадратных корней из натуральных чисел с помощью непрерывных дробей, аналогичный ранее опубликованному (1572 год) Рафаэлем Бомбелли , который непрерывные дроби не использовал. Чтобы найти значение ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ , сначала определяется его целое приближение: ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$ , где ${\displaystyle 0<r<1\ }$ . Тогда ${\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ }$ . Отсюда несложно вывести, что ${\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}}$ . Повторно подставляя полученное выражение в формулу ${\displaystyle {\sqrt {n}}=a\pm r}$ , мы получаем разложение в непрерывную дробь :

${\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}}$

Пример . Для ${\displaystyle {\sqrt {13}},a=3}$ мы получаем последовательные приближения ( подходящие дроби ):

${\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots }$

Две последние дроби равна ${\displaystyle 3{,}60555555\dots }$ и ${\displaystyle 3{,}60555088\dots }$ соответственно. Катальди отметил основное свойство непрерывных дробей: исходное число всегда находится между соседними подходящими дробями , что позволяет легко оценить погрешность вычисленного значения корня. Поэтому, сравнивая последнюю дробь с предпоследней, можно заключить, что пять цифр после запятой верны. В самом деле, точное значение: ${\displaystyle {\sqrt {13}}=3.60555127\dots }$ . Позднее теорию непрерывных дробей расширили Джон Валлис , Христиан Гюйгенс , Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж .

Катальди также внёс большой вклад в теорию совершенных чисел . Уже Евклид знал, что если ${\displaystyle 2^{n}-1}$ — простое число , то ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ — совершенное число. Это правило при ${\displaystyle n=2,3,5,7}$ даёт совершенные числа ${\displaystyle 6,28,496,8128}$ соответственно. Другие совершенные числа древнегреческим математикам были неизвестны. Следующее совершенное число опубликовал голландский математик Худалрик Perиус ( лат. Hudalrichus Regius ) в трактате « Utriusque Arithmetices » (1536 год) , который показал, что ${\displaystyle 2^{13}-1}$ является простым числом, что даёт в качестве следующего совершенного числа 33 550 336 .

В 1603 году Катальди опубликовал «Трактат о совершенных числах» ( итал. Trattato de' numeri perfetti ), где показал :

• если ${\displaystyle n}$ составное , то и ${\displaystyle 2^{n}-1}$ также составное;
• ${\displaystyle 2^{n}-1}$ при ${\displaystyle n=17}$ и при ${\displaystyle n=19}$ — простые числа (доказывал простым перебором возможных простых делителей).

Фактически Катальди вычислил список всех простых чисел до 750 и разложения всех чисел до 800. Он опубликовал эти списки отдельно. Тем самым Катальди нашёл шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Заодно он опроверг гипотезу Никомаха , согласно которой в последних цифрах членов последовательности совершенных чисел чередуются цифры 6 и 8 .

Он также предположил, что для ${\displaystyle n=23,29,31,37}$ также получатся совершенные числа, но эта гипотеза не оправдалась — все эти числа, за исключением получающегося при ${\displaystyle n=31,}$ оказались составными. Первым это обнаружил Пьер Ферма в 1640 году, случай ${\displaystyle n=31}$ исследовал Леонард Эйлер в 1738 году .

Кроме трактата о совершенных числах, в том же 1603 году Катальди опубликовал комментированное издание « Начал » Евклида и ещё один небольшой труд, в котором попытался доказать « Пятый постулат » Евклида. При этом он опирался на утверждение: « Эквидистанта для прямой является прямой», которое на самом деле равносильно пятому постулату .

Основные труды

• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Giovanni Rossi, 1602.
• Cataldi Pietro Antonio. (лат.) . — Bononiae: Giovanni Rossi, 1603.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Giovanni Rossi, 1603.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Giovanni Rossi, 1606.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Bartolomeo Cochi, 1612.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Bartolomeo Cochi, 1613.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Bartolomeo Cochi, 1613.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Sebastiano Bonomi, 1618.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Sebastiano Bonomi, 1619.
• Cataldi Pietro Antonio. . — Bologna: Sebastiano Bonomi, 1620.
• Cataldi Pietro Antonio , Algebra applicata, 1622
• Cataldi Pietro Antonio , Difesa di Euclide, 1626

Примечания

Литература

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• Бородин А. И., Бугай А. С. Катальди Пьетро Антонио // Биографический словарь деятелей в области математики. — Киев: Радянська школа, 1979. — С. 234. — 607 с.
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1895. — Т. XIVa. — С. 718.
• Augusto de Ferrari. (итал.) // Dizionario Biografico degli Italiani . — Roma: Istituto dell'Enciclopedia italiana , 1979. — Vol. 22. 13 мая 2022 года.

Ссылки

• Депман И. Я. : [ 2 февраля 2021 ] // Квант. — 1991. — № 5. — С. 13—22.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .
• (англ.) . The Galileo Project . Дата обращения: 26 января 2021. 22 февраля 2022 года.