Многочлен Лорана — линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из данного поля . От обычных многочленов многочлен Лорана отличается тем, что показатель степени может быть отрицательным. Многочлены Лорана используются в теории функций комплексного переменного .

Названы в честь Пьера Лорана .

Определение

Многочлен Лорана с коэффициентами из поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — это выражение вида

${\displaystyle p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,}$

где X — формальная переменная, ${\displaystyle k}$ — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число ${\displaystyle p_{k}}$ не равны нулю.

Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}\cdot X^{i+j}.}$

Так как количество отличных от нуля коэффициентов ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle b_{j}}$ конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.

Свойства

• Многочлен Лорана над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций .

См. также

• Ряд Лорана

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968. — 564 с.