Волновой пакет ( цуг волн )— определённая совокупность волн , обладающих разными частотами , которые описывают обладающую волновыми свойствами формацию, в общем случае ограниченную во времени и пространстве. Так, в квантовой механике описание частицы в виде волновых пакетов способствовало принятию статистической интерпретации квадрата модуля волновой функции .

Произвольная отдельная волна ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$ как функция радиус-вектора ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и времени ${\displaystyle t}$ описывается выражением

${\displaystyle {{\psi }({\mathbf {r} },t)}={A}~{\exp {(-i({\omega }t-{\mathbf {k} }{\mathbf {r} }))}}={A}~{\exp {\frac {-i(Et-{\mathbf {p} }{\mathbf {r} })}{\hbar }}}}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, ${\displaystyle E}$ — энергия , переносимая волной, ${\displaystyle \hbar }$ — приведённая постоянная Планка , ${\displaystyle p}$ — импульс , переносимый волной, ${\displaystyle \omega }$ — её циклическая частота (обычная частота, умноженная на ${\displaystyle 2\pi }$ ), ${\displaystyle k}$ — волновое число (определяемое как ${\displaystyle k={\frac {2{\pi }}{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}}$ ).

Для волнового описания отдельной частицы, обладающей массой покоя , необходимо просуммировать некоторое количество волн, обладающих близкими частотами,— и в таком случае волновая функция ${\displaystyle \psi (r,t)}$ будет заметно отлична от нуля лишь в некоторой, сравнительно небольшой области пространства. Получится волновой пакет.

Образуем волновой пакет из суперпозиции (набора) плоских волн, для которых волновое число ${\displaystyle k}$ изменяется от ${\displaystyle k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}$ до ${\displaystyle k_{0}+{\frac {\Delta k}{2}}}$ (для простоты предположим, что на имеющем основное значение интервале амплитуды остаются постоянными и равными ${\displaystyle {\frac {A}{\Delta k}}}$ ):

${\displaystyle \psi (r,t)={\frac {A}{\Delta k}}\int \limits _{k_{0}-{\frac {\Delta k}{2}}}^{k_{0}+{\frac {\Delta k}{2}}}\exp {\big (}-i(\omega t-kr){\big )}\,dk=\sum J_{n}\psi _{n}}$

где теперь ${\displaystyle \psi (r,t)}$ обозначает результирующую волновую функцию , а величины ${\displaystyle J_{n}}$ обозначают вклады волн ${\displaystyle \psi _{n}}$ , из которых образован пакет, в результирующую волну, причем ${\displaystyle \sum J_{n}^{2}=1}$ .

Групповая скорость

Групповая скорость — это кинематическая характеристика диспергирующей волновой среды, обычно интерпретируемая как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей узкого квазимонохроматического волнового пакета.

Разложим частоту ${\displaystyle \omega }$ в ряд Тейлора как функцию от ${\displaystyle k}$ :

${\displaystyle \omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}\omega _{0}''+\dots }$

После этого, ограничившись лишь членами первого порядка малости относительно ${\displaystyle \Delta k=k-k_{0}}$ , найдём:

${\displaystyle \omega (k)=\omega _{0}+(k-k_{0})\omega _{0}'+\dots =\omega _{0}+\omega _{1}+\dots }$

Опять-таки учитывая лишь члены первого порядка малости, после интегрирования по ${\displaystyle dk}$ , получим:

${\displaystyle \psi (r,t)=B\exp {\big (}-i(\omega _{0}t-k_{0}r){\big )}}$ ,

и результирующая амплитуда волнового пакета ${\displaystyle B}$ будет равна

${\displaystyle B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}\,\qquad \xi ={\frac {\Delta k}{2}}\ (r-\omega _{0}'t)}$

Отсюда следует, что амплитуда ${\displaystyle B}$ не остается постоянной ни в пространстве, ни во времени. Также видно, что пространственное распределение волнового пакета подчиняется аналогичному закону ${\displaystyle a{\frac {\sin(bx)}{cx}}}$ , где ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ — некоторые величины, в общем случае переменные и зависящие от расстояния ${\displaystyle x}$ до точки главного максимума и от времени.

Чтобы определить групповую скорость ${\displaystyle u}$ движения волнового пакета в целом необходимо положить ${\displaystyle \xi ={\rm {const}}}$ , и тогда

${\displaystyle u={\frac {dr}{dt}}=\omega _{0}'}$

Теперь рассмотрим пространственное распределение волнового пакета. Положим ${\displaystyle t=0}$ . Тогда ${\displaystyle \xi =r{\frac {\Delta k}{2}}}$ . Квадрат амплитуды волнового пакета ${\displaystyle B^{2}=A^{2}{\frac {\sin ^{2}\xi }{\xi ^{2}}}}$ достигает главного максимума в точке с ${\displaystyle \xi =0}$ . Остальные максимумы будут соответственно уменьшаться: ${\displaystyle B^{2}(\pm {\frac {3\pi }{2}})={\frac {4A^{2}}{9\pi ^{2}}}}$ , ${\displaystyle B^{2}(\pm {\frac {5\pi }{2}})={\frac {4A^{2}}{25\pi ^{2}}}}$ , ${\displaystyle \ldots }$ , причём в точках ${\displaystyle \pm \pi ,\pm 2\pi ,\dots }$ квадрат амплитуды обращается в нуль.

Благодаря этому мы можем считать, что область локализации основной части волнового пакета ${\displaystyle \Delta r}$ находится в окрестности главного максимума. Наиболее рационально «постановить», что эта область соответствует половине расстояния ${\displaystyle \xi }$ между первыми нулями функции ${\displaystyle B=A{\frac {\sin \xi }{\xi }}}$ ( ${\displaystyle \xi _{0}=\pm \pi }$ ). Тогда окажется, что ${\displaystyle \Delta \xi ={\frac {\Delta k\Delta r}{2}}=\pi }$ . Следовательно,

${\displaystyle \Delta k\Delta r=2\pi .}$

Однако, если говорить математически строго, волновая функция отлична от нуля и за пределами пакета, так что правильнее было бы записать

${\displaystyle \Delta k\Delta r\geqslant 2\pi }$

Так как ${\displaystyle k=2{\pi }/{\lambda }}$ ( ${\displaystyle {\lambda }}$ — длина волны), а ${\displaystyle {\lambda }=h/p}$ ( ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка (не приведенная!)), можно переписать это неравенство ещё как

${\displaystyle {\Delta }p{\Delta }r{\geq }h}$

Оно представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга , один из самых фундаментальных принципов квантовой механики. Это соотношение справедливо для всех без исключения волновых процессов независимо от их природы. Так, в радиотехнике и оптике присутствует несовместимость острой локализации соответствующих волновых процессов во времени и пространстве с узким спектром частот. Например, селективный радиоприёмник ( ${\displaystyle {\Delta }{\omega }~{\rightarrow }~0}$ ) не в состоянии улавливать сигналы, короткие по времени и т. п.

Расплывание волнового пакета

Наконец, рассмотрим отброшенные в вышеприведенных формулах члены разложения ${\displaystyle {\omega }}$ в ряд Тейлора. Очевидно, что такое приближение не всегда физически оправдано. В условиях отсутствия дисперсии ( ${\displaystyle {\omega _{2}}=0}$ ), когда все монохроматические волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью, начальная форма волнового пакета с течением времени не меняется, а максимум его амплитуды перемещается с начальной скоростью, равной фазовой. Однако же если дисперсия отлична от нуля ( ${\displaystyle {\omega _{2}}~{\not =}~0}$ ), то есть если фазовые скорости отдельных волн-составляющих будут различны, начальная форма пакета будет меняться с течением времени, то есть он будет расплываться.

Оценим время расплывания волнового пакета. Для этого нужно учесть при рассмотрении интеграла ${\displaystyle {\frac {A}{{\Delta }k}}\int \limits _{k_{0}-{\frac {{\Delta }k}{2}}}^{k_{0}+{\frac {{\Delta }k}{2}}}{\mathsf {exp}}(-i({\omega }t-kr))\,{\mathsf {d}}k}$ квадратичный член ряда Тейлора ${\displaystyle {\omega _{2}}(k)={\omega _{0}''}{\frac {(k-k_{0})^{2}}{2}}}$ , в первом приближении отбрасываемый. Его учёт приводит к дополнительной фазе

${\displaystyle {\Delta }{\xi }~{\sim }~{\frac {({\Delta }k)^{2}}{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{\partial }{k}^{2}}}t}$ ,

которая оказывается существенной, если достигает порядка ${\displaystyle {\pi }}$ . Отсюда для времени ${\displaystyle {\Delta }t}$ расплывания волнового пакета получаем выражение

${\displaystyle {\Delta }t~{\cong }~{\frac {2{\pi }}{{\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{\partial }{k}^{2}}}({\Delta }k)^{2}}}}$ .

Теперь применим полученные выводы к дебройлевским волнам. Прежде всего обратим внимание на то, что амплитуда пакета заметно отлична от нуля лишь в небольшой области пространства, которую можно связать с местоположением частицы. Далее, в частном случае дебройлевских волн ( ${\displaystyle E={\hbar }{\omega },~~p={\hbar }k}$ ) групповая скорость перемещения частицы как целого

${\displaystyle {\bar {u}}={\frac {{\partial }{\omega }}{{\partial }k}}={\frac {{\partial }E}{{\partial }p}}={\frac {{c^{2}}p}{E}}=v}$

точно равна скорости ${\displaystyle v}$ самой частицы. Благодаря этому возможно сопоставить движение главных максимумов волновых пакетов движению отдельных частиц. Поэтому положение частицы в пространстве можно характеризовать квадратом амплитуды волны ${\displaystyle {B^{2}}={{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)}$ , являющимся одновременно квадратом модуля волновой функции.

Теперь выясним: можно ли связать «пси»-волны со структурой самой частицы, или же они описывают лишь её движение? Точка зрения, утверждающая, что можно, была предложена Эрвином Шрёдингером вскоре после открытия им фундаментального уравнения квантовой механики , который предположил, что частица должна представлять собой сгусток волн, размазанный в пространстве, причём плотность его в данной точке равна ${\displaystyle {{\psi }^{*}}(r,t){\psi }(r,t)}$ . Однако такая интерпретация оказалась несостоятельной: как было показано выше, фазовые скорости волн, образующих волновой пакет, различны, и с течением времени он начинает расплываться.

Найдем время расплывания волнового пакета из дебройлевских волн. В таком случае квадратичный член из вышеприведённого ряда Тейлора, определяющий дисперсию, будет равен

${\displaystyle {\frac {{{\partial }^{2}}{\omega }}{{{\partial }k}^{2}}}={\hbar }{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}}$

Ограничимся для простоты нерелятивистским приближением ( ${\displaystyle p~{\ll }~{m_{0}}c~,}$ ${\displaystyle {m_{0}}}$ — масса покоя частицы). Тогда:

${\displaystyle {\frac {{\partial }E}{{\partial }p}}={\frac {p}{m_{0}}},~~~~~~{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{{\partial }p}^{2}}}={\frac {1}{m_{0}}}}$

Для оценки времени расплывания волнового пакета получаем (согласно соотношению неопределённостей и аналогичной вышеприведённой формуле):

${\displaystyle {\Delta }t~{\approx }~{\frac {h}{{\frac {{{\partial }^{2}}{E}}{{\partial }{p}^{2}}}({\Delta }p)^{2}}}~{\approx }~{\frac {{m_{0}}({\Delta }r)^{2}}{h}}}$

В случае макроскопической частицы, имеющей массу, например, 1 грамм и размер ${\displaystyle {{\Delta }r}=0,1}$ см, время расплывания окажется ${\displaystyle {{\Delta }t}={10^{25}}}$ сек, то есть такой волновой пакет фактически не будет расплываться. В случае же микрочастицы вроде электрона, чья масса порядка ${\displaystyle {10^{-27}}}$ грамм, ${\displaystyle {{\Delta }r}~{\sim }~{10^{-13}}}$ см, волновой пакет расплывется почти мгновенно: ${\displaystyle {{\Delta }t}~{\sim }~{10^{-26}}}$ сек. Из-за того, что волновой пакет микрочастицы в общем случае расплывается весьма быстро, для их (частиц) успешного описания следует составлять волновой пакет из волн, разброс значений волновых чисел которых невелик, то есть ${\displaystyle {{\Delta }k}~{\ll }~{k_{0}}}$ .

Таким образом, если точка зрения, которой придерживался в этом отношении Шрёдингер, была бы верна, электрон не мог бы представлять собой устойчивое образование. Кроме того, невозможно было бы объяснить явление дифракции, заменив пучок электронов множеством волновых пакетов.

В настоящее время принята другая, «статистическая», интерпретация ${\displaystyle {\psi }}$ -волны, предложенная Максом Борном . Согласно этой интерпретации, величина ${\displaystyle {{{\mid }{\psi }{\mid }}^{2}}={{\psi }^{*}}{\psi }}$ имеет смысл вероятности (либо плотности вероятности ) нахождения частицы в данной точке пространства либо бесконечно малом (в общем случае — просто очень малом) элементе объёма.

Статистическая интерпретация, предложенная Борном, не связывает волновую функцию со структурой частицы. В частности, ничто не «мешает» электрону оставаться вообще точечным. При изменении волновой функции изменяется лишь вероятность обнаружения частицы в какой-то точке пространства. В свете этого представления расплывание волнового пакета противоречит устойчивости частицы. В предельном случае монохроматической волны частица равновероятно может быть обнаружена в любой точке пространства.

См. также

• Волны де Бройля
• Статистическая интерпретация волновой функции

Примечания

Литература

• А. А. Соколов, И. М. Тернов Квантовая механика и атомная физика. — М. : «Просвещение», 1970. § 3.
• Л. А. Грибов, С. П. Муштакова Квантовая химия. — М. : «Гардарики», 1999. Глава 1, с. 14.
• Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М. : Физматлит , 2004. — 800 с. — (« Теоретическая физика », том III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, стереотипное. — М. : Физматлит , МФТИ , 2002. — Т. IV. Оптика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0228-1 .