Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом , то есть непустой системой S элементов e ₁ ,…e _i … , которая является линейно независимой и порождает F . Само кольцо R , рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме R ⁿ колец R , рассматриваемых как модули.

Важно обратить внимание, что в некоторых случаях свободный модуль может обладать двумя конечными базисами, состоящими из разного числа элементов. Так как в этом случае модуль M будет изоморфен как R ^m так и R ⁿ , где m≠n , то этот случай возможен тогда и только тогда, когда над кольцом R существуют матрицы A размера m×n и B размера n×m , такие, что AB=I _m и BA=I _n , где I _m и I _n — единичные квадратные матрицы. Ясно, что в случае, когда кольцо R допускает гомоморфизм в тело (это будет так, например, в случае коммутативных колец), данная ситуация невозможна в силу свойства ранга матрицы. В этом случае число элементов базиса называется рангом кольца R и обозначается rank R или rk R . В случае векторного пространства ранг пространства является его размерностью.

Если модуль имеет бесконечный базис, то все такие базисы равномощны.

Так как любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z , то всё вышеописанное относится и к свободным абелевым группам.

Универсальное свойство

Свойство модуля быть свободным можно выразить в терминах теории категорий . Линейная функция между свободными модулями ${\displaystyle f:F_{1}\to F_{2}}$ однозначно определяется своими значениями на базисе ${\displaystyle F_{1}}$ , обратно, произвольная функция , определенная на базисе, может быть продолжена до линейной функции. Эти свойства базиса можно формализовать при помощи универсального свойства .

Каждому модулю над кольцом R можно сопоставить его множество-носитель: существует забывающий функтор F : R-Mod → Set . Пусть A — некоторый R -модуль; i: X → F(A) — некоторая функция между множествами. Мы говорим, что A — свободный модуль с базисом из векторов i ( X ) тогда и только тогда, когда для любого отображения ${\displaystyle f:X\to F(B)}$ существует единственное линейное отображение ${\displaystyle {\tilde {f}}:A\to B}$ , такое что ${\displaystyle f=F({\tilde {f}})\circ i}$ .

Обобщения

Некоторые теоремы о свободных модулях остаются верными и для более широких классов колец. Проективный модуль — это в точности прямое слагаемое некоторого свободного модуля, поэтому для доказательства утверждения о проективном модуле можно рассмотреть его вложение в свободный модуль и воспользоваться базисом. Ещё более далёкие обобщения — это плоские модули , которые можно представить как прямой предел конечнопорождённых свободных модулей, и модули без кручения .

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra.