Размерность Хаусдорфа , или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве . Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть ${\displaystyle \Omega }$ — ограниченное множество в метрическом пространстве ${\displaystyle X}$ .

ε-покрытия

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . Не более чем счётный набор ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ будем называть ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытием множества ${\displaystyle \Omega }$ , если выполнены следующие два свойства:

• ${\displaystyle \Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}}$
• для любого ${\displaystyle i\in I}$ : ${\displaystyle |\omega _{i}|<\varepsilon }$ (здесь и далее ${\displaystyle |\omega |}$ означает диаметр множества ${\displaystyle \omega }$ ).

α-мера Хаусдорфа

Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$ . Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ — покрытие множества ${\displaystyle \Omega }$ . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: ${\displaystyle F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }}$ .

Обозначим через ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ «минимальный размер» ${\displaystyle {\varepsilon }}$ -покрытия множества ${\displaystyle \Omega }$ : ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))}$ , где инфимум берётся по всем ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытиям множества ${\displaystyle \Omega }$ .

Очевидно, что функция ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ (нестрого) возрастает при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$ , поскольку при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$ мы только сжимаем множество возможных ${\displaystyle \varepsilon }$ -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0+}$ :

${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0+}M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ .

Величина ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ называется ${\displaystyle \alpha }$ -мерой Хаусдорфа множества ${\displaystyle \Omega }$ .

Свойства α-меры Хаусдорфа

• ${\displaystyle \alpha }$ -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на ${\displaystyle X}$ .
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; ${\displaystyle d}$ -мера Хаусдорфа множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ совпадает с их ${\displaystyle d}$ -мерным объёмом.
• ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ убывает по ${\displaystyle \alpha }$ . Более того, для любого множества ${\displaystyle \Omega }$ существует критическое значение ${\displaystyle \alpha _{0}}$ , такое, что:
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=+\infty }$ для всех ${\displaystyle \alpha <\alpha _{0}}$
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=0}$ для всех ${\displaystyle \alpha >\alpha _{0}}$

Значение ${\displaystyle M_{\alpha _{0}}(\Omega )}$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа ${\displaystyle \dim _{H}\Omega }$ множества ${\displaystyle \Omega }$ называется число ${\displaystyle \alpha _{0}}$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на ${\displaystyle n}$ частей, подобных исходному множеству с коэффициентами ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ , то его размерность ${\displaystyle s}$ является решением уравнения ${\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}$ . Например,

• размерность множества Кантора равна ${\displaystyle \ln 2/\ln 3}$ (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — ${\displaystyle \ln 3/\ln 2}$ (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — ${\displaystyle 2}$ (разбивается на 2 части, коэффициент подобия ${\displaystyle {\sqrt {1/2}}}$ ).

Свойства

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского .
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
• Для произвольных метрических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ выполняется соотношение

  ${\displaystyle \dim _{H}(X\times Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).}$

  • Для некоторых пар ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.

См. также

• Фрактал
• Размерность Минковского

Примечания

Литература

• Федер Е. Фракталы. — М. : МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7 .