В математике вычислимое (или рекурсивное ) число — это число, которое может быть вычислено с любой заданной точностью с помощью алгоритма (для комплексных чисел должны быть вычислимы и действительная, и мнимая части).

Число, не являющееся вычислимым, называется невычислимым (примером невычислимого числа является константа Хайтина в проблеме остановки ).

Любое алгебраическое число (а значит, любое рациональное и тем более любое целое число ) является вычислимым. Любой элемент кольца периодов (что включает в себя число π и многие другие трансцендентные числа ) является вычислимым. Любое вычислимое число является арифметическим .

Множество всех вычислимых чисел является счётным множеством , а множество всех невычислимых чисел — несчётным . Множество всех вычислимых чисел (равно как и множество всех невычислимых чисел) плотно в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и в ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Порядок на множестве вычислимых действительных чисел изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Определение

Вещественное число ${\displaystyle x}$ называется вычислимым , если существует алгоритм , который позволяет для каждого ${\displaystyle n\in P}$ вычислить за конечное число шагов двоичную дробь ${\displaystyle a={\frac {k}{2^{r}}},\ k\in \mathbb {Z} ,\ r\in \mathbb {N} }$ , такую, что ${\displaystyle |x-a|<2^{-n}}$ .

Свойства

• Сумма , разность и произведение вычислимых чисел являются вычислимыми.
• Предел вычислимой последовательности рациональных чисел не обязательно является вычислимым числом (но всегда является )
• Существует взаимно однозначное соответствие между вычислимыми подмножествами ${\displaystyle S\subset P}$ и вычислимыми вещественными числами ${\displaystyle x\in [0,1]}$ .

См. также

• Алгоритмическая разрешимость

Примечания