Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций , сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ так, что ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$ , и определённая на нём последовательность измеримых функций ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ , сходящаяся почти всюду к ${\displaystyle f}$ . Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует множество ${\displaystyle X_{\varepsilon }\subset X}$ такое, что ${\displaystyle \mu (X\setminus X_{\varepsilon })<\varepsilon }$ , и последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ .

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью .
• Конечность ${\displaystyle \mu (X)}$ принципиальна. Пусть, например, ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелева σ-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега . Заметим, что ${\displaystyle m(\mathbb {R} )=\infty }$ . Пусть ${\displaystyle f_{n}(x)=\mathbf {1} _{[n,n+1]}(x),\;x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} }$ , где ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ обозначает индикатор-функцию множества ${\displaystyle A}$ . Тогда ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ сходится к нулю поточечно , но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве .

• Теорема Лузина

Примечания

Литература

• Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М. : Наука , 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : Физматлит , 1961. — 436 с.

• Dmitri Egoroff , Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
• Богачев В. И. , К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования , вып. 48 (13), 2009.