Конформное отображение
—
непрерывное отображение
, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму
бесконечно малых
фигур.
Определение
Взаимно однозначное отображение
области
D
на область
D
*
(
евклидова пространства
или
риманова многообразия
) называется
конформным
(
лат.
conformis
— подобный), если в окрестности любой точки
D
дифференциалом
этого преобразования является композиция
ортогонального преобразования
и
гомотетии
.
Этот термин пришёл из
комплексного анализа
, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.
Связанные определения
Если при конформном отображении сохраняется
ориентация
, то говорят о
конформном отображении первого рода
; если же она меняется на противоположную, то говорят о
конформном отображении второго рода
либо
антиконформном отображении
.
Две
метрики
g
,
g
~
{\displaystyle g,{\tilde {g}}}
на гладком многообразии
M
{\displaystyle M}
называются
конформноэквивалентными
если существует гладкая функция
ψ
:
M
→
R
{\displaystyle \psi :M\to \mathbb {R} }
такая что
g
~
=
e
2
⋅
ψ
g
{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\cdot \psi }g}
. В этом случае функция
e
ψ
{\displaystyle e^{\psi }}
называется
конформным фактором
g
~
{\displaystyle {\tilde {g}}}
.
Свойства
Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.
Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
Конформное отображение сохраняет
углы между кривыми
в точках их пересечения (
свойство сохранения углов
).
Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Теорема Римана
: Любая
односвязная
открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.
Теорема Лиувилля
: Всякое конформное отображение области
евклидова пространства
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
при
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
можно представить в виде суперпозиции конечного числа
инверсий
.
Кривизна Вейля
сохраняется при конформном отображении, то есть если
g
~
{\displaystyle {\tilde {g}}}
и
g
{\displaystyle g}
— конформноэквивалентные
метрические тензоры
, то
W
~
(
X
,
Y
)
Z
=
W
(
X
,
Y
)
Z
,
{\displaystyle {\tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,}
где
W
~
{\displaystyle {\tilde {W}}}
и
W
{\displaystyle W}
обозначают тензоры Вейля для
g
~
{\displaystyle {\tilde {g}}}
и
g
{\displaystyle g}
соответственно.
Для конформно-эквивалентых метрик
g
~
=
e
2
ψ
⋅
g
{\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\psi }{\cdot }g}
Связности связаны следующей формулой:
∇
~
X
Y
=
∇
X
Y
+
(
X
ψ
)
⋅
Y
+
(
Y
ψ
)
⋅
X
−
g
(
X
,
Y
)
⋅
∇
ψ
.
{\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }X-g(X,Y){\cdot }\nabla \psi .}
Кривизны связаны следующей формулой:
g
(
R
~
(
X
,
Y
)
Y
,
X
)
=
g
(
R
(
X
,
Y
)
Y
,
X
)
−
{\displaystyle g({\tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-}
−
H
e
s
s
ψ
(
X
,
X
)
−
H
e
s
s
ψ
(
Y
,
Y
)
−
|
∇
ψ
|
2
+
(
Y
ψ
)
2
{\displaystyle -\mathrm {Hess} _{\psi }(X,X)-\mathrm {Hess} _{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}}
если
g
(
X
,
X
)
=
g
(
Y
,
Y
)
=
1
,
g
(
X
,
Y
)
=
0
,
X
ψ
=
0
{\displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0}
а
H
e
s
s
ψ
{\displaystyle \mathrm {Hess} _{\psi }}
обозначает
Гессиан функции
ψ
{\displaystyle \psi }
.
В двумерном случае
|
∇
ψ
|
2
=
(
Y
ψ
)
2
{\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2}}
, поэтому формулу можно записать как
e
2
⋅
ψ
⋅
K
~
=
K
−
Δ
ψ
{\displaystyle e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\Delta \psi }
где
Δ
{\displaystyle \Delta }
обозначает
лапласиан
по отношению к
g
{\displaystyle g}
.
Для ортонормированной пары векторов
X
{\displaystyle X}
и
Y
{\displaystyle Y}
,
секционную кривизну
в направленнии
X
∧
Y
{\displaystyle X\wedge Y}
можно записать в следующем виде:
K
~
X
,
Y
=
f
2
⋅
K
X
,
Y
+
f
⋅
[
H
e
s
s
f
(
X
,
X
)
+
H
e
s
s
f
(
Y
,
Y
)
]
−
|
∇
f
|
2
,
{\displaystyle {\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[\mathrm {Hess} _{f}(X,X)+\mathrm {Hess} _{f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},}
где
f
=
e
−
ψ
{\displaystyle f=e^{-\psi }}
.
При вычислении
скалярной кривизны
n
{\displaystyle n}
-мерного
риманова многообразия
при
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
, удобнее записывать конформный фактор в виде
g
~
=
u
4
n
−
2
⋅
g
{\displaystyle {\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot }g}
. В этом случае:
S
c
~
=
(
S
c
⋅
u
−
4
⋅
(
n
−
1
)
n
−
2
⋅
Δ
u
)
⋅
u
n
−
2
n
+
2
{\displaystyle {\tilde {Sc}}=\left({Sc}\cdot u-{\frac {4{\cdot }(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{\frac {n-2}{n+2}}}
Линейный оператор
u
↦
n
−
2
4
⋅
(
n
−
1
)
⋅
S
c
⋅
u
−
Δ
u
{\displaystyle u\mapsto {\tfrac {n-2}{4{\cdot }(n-1)}}{\cdot }{Sc}\cdot u-\Delta u}
называется
конформным лапласианом
.
Примеры
Дисторсия
(посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.
История
Исследованием конформных отображений занимались
Л. Эйлер
,
Б. Риман
,
К. Гаусс
,
А. Пуанкаре
,
К. Каратеодори
,
Н. Е. Жуковский
,
С. А. Чаплыгин
,
М. А. Лаврентьев
.
Применение
Конформное отображение применяется в
картографии
,
электростатике
для расчёта распределения электрических полей
,
механике сплошных сред
(
гидро-
и
аэромеханика
,
газовая динамика
,
теория упругости
,
теория пластичности
и др.).
Литература
Алешков Ю. З.
Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
Иванов В. И.
Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). //
Историко-математические исследования
. —
М.
: Янус-К, 2001. —
№ 41 (6)
. —
С. 255-266.
.
Каратеодори К.
М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ.
М. В. Келдыша
Лаврентьев М.А.
Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
Шабат Б. В.
Введение в комплексный анализ. —
М.
:
Наука
,
1969
. — 577 с.
Янушаускас А. И.
Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.
Радыгин В. М.
,
Полянский И. С.
Методы конформных отображений многогранников в
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
// Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.
См. также
Ссылки
, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.
Rogowski W.
(нем.)
// Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. —
Bd. 12
. —
S. 1-15
. —
doi
:
.
9 июня 2018 года.