Interested Article - Окрестность
- 2021-02-01
- 1
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество , а — определённая на топология .
- Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией . Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- , с. 13.
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М. : Советская Энциклопедия , 1984 . — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М. : Мир , 1975 .
- 2021-02-01
- 1