Движе́ние (или наложе́ние ) — преобразование метрического пространства , сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$ — образы точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , то ${\displaystyle A'B'=AB}$ . Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.

Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии ) чаще говорят: изометрия пространства в себя . В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия ) движения могут существовать далеко не всегда.

Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения .

В евклидовом (или псевдоевклидовом ) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения .

Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.

Собственные и несобственные движения

Пусть ${\displaystyle f\colon E\rightarrow E}$ — движение евклидова точечного пространства ${\displaystyle E,}$ а ${\displaystyle V}$ — пространство свободных векторов для пространства ${\displaystyle E}$ . Линейный оператор ${\displaystyle Df\colon V\rightarrow V,}$ ассоциированный с аффинным преобразованием ${\displaystyle f,}$ является ортогональным оператором , и поэтому его определитель может быть равен либо ${\displaystyle 1}$ ( собственный ортогональный оператор ), либо ${\displaystyle -1}$ ( несобственный ортогональный оператор ). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если ${\displaystyle \det Df=1}$ ) и несобственные (если ${\displaystyle \det Df=-1}$ ) .

Собственные движения сохраняют ориентацию пространства ${\displaystyle E,}$ несобственные — заменяют её на противоположную . Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениями .

Всякое движение n -мерного евклидова точечного пространства ${\displaystyle E}$ может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера ${\displaystyle (O';e'_{1},\ldots ,e'_{n}),}$ в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве ${\displaystyle E}$ ортонормированный репер ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n}).}$ При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства ${\displaystyle E}$ (т. e. являются изометриями ), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существует .

В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение ). Если, следуя П. С. Александрову , называть непрерывным движением такое движение пространства ${\displaystyle E,}$ которое непрерывно зависит от параметра ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$ (при ${\displaystyle n=3}$ в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела ), то ортонормированный репер ${\displaystyle (O';e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера ${\displaystyle (O;e_{1},\ldots ,e_{n})}$ тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаково .

Частные виды изометрий

На прямой

Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственным .

На плоскости

Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов :

• Параллельный перенос ;
• Поворот ;
• Осевая симметрия ( отражение );
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.

Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственные .

В трёхмерном пространстве

Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов :

• Параллельный перенос;
• Поворот;
• — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
• Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости ;
• Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
• — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства ( теореме Шаля ), а движения последних трёх типов являются несобственными .

В n-мерном пространстве

В ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям , параллельным переносам и суперпозициям тех и других.

В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей ).

Движения как суперпозиции симметрий

Любую изометрию в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отражений .

Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и — трёх, — четырёх.

Общие свойства изометрий

• Суперпозиция изометрий также является изометрией .
• Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso( E ) , являющуюся группой Ли .
• Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso( E ) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff( E ) пространства E ) .
• Группа Iso( E ) состоит из двух связных компонент : множества Iso ₊ ( E ) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso _– ( E ) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связна .
• Изометрия, будучи аффинным преобразованием , всегда переводит отрезок снова в отрезок.

Примечания

Литература

• Александров П. С. . Лекции по аналитической геометрии. — М. : Наука , 1968. — 912 с.
• Берже М. . Геометрия. Т. 1. — М. : Мир , 1984. — 560 с.
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. . Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М. : Наука , 1986. — 304 с.