Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми точками в некотором сильном смысле.

Определение

Пусть на метрическом пространстве ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$ определено отображение ${\displaystyle A:\mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ . Оно называется сжимающим на ${\displaystyle \mathbb {M} }$ , если существует такое неотрицательное число ${\displaystyle \alpha <1}$ , что для любых двух точек ${\displaystyle x,y\in \mathbb {M} }$ выполняется неравенство

${\displaystyle {d(Ax,Ay)\leqslant \alpha \,d(x,y)}}$ .

Число ${\displaystyle \alpha }$ часто называют коэффициентом сжатия .

Другими словами, сжимающее отображение — это липшицево отображение метрического пространства в себя, константа Липшица которого строго меньше единицы.

Теорема Банаха о сжимающем отображении

Пусть ${\displaystyle \left(\mathbb {M} ,\,d\right)}$ — полное метрическое пространство. Пусть ${\displaystyle A\colon \mathbb {M} \to \mathbb {M} }$ — сжимающее отображение ${\displaystyle \mathbb {M} }$ в себя. Тогда уравнение ${\displaystyle x=Ax}$ имеет единственное решение ${\displaystyle x^{\ast }\in \mathbb {M} }$ , причём

${\displaystyle x^{\ast }=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

для всякой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ , удовлетворяющей рекуррентному соотношению ${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}}$ , при любом выборе начальной точки ${\displaystyle x_{0}}$ из ${\displaystyle \mathbb {M} }$ . Более того, если ${\displaystyle \alpha }$ — коэффициент сжатия отображения ${\displaystyle A}$ , то справедлива следующая оценка погрешности вычисления ${\displaystyle x^{*}}$ с помощью элементов последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$ :

${\displaystyle d(x_{n},x^{*})\leqslant {\frac {\alpha ^{n}}{1-\alpha }}\,d(x_{0},x_{1}).}$

Свойства

• (Непрерывность) Пусть ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — сжимающее отображение метрического пространства ${\displaystyle (\mathbb {M} ,d)}$ . Тогда ${\displaystyle \mathbb {} A}$ — непрерывная функция на ${\displaystyle \mathbb {M} }$ .

• (Неподвижная точка) По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка :

${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:Ax^{*}=x^{*}}$ .

• (Итерационная последовательность) Если взять произвольный элемент ${\displaystyle x}$ полного метрического пространства и рассмотреть последовательность элементов ${\displaystyle x,Ax,A^{2}x,....}$ , то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке отображения ${\displaystyle A}$ .

Применение

• Численное решение уравнений
• Доказательство теорем существования и единственности в дифференциальных и интегральных уравнениях.

Примечания

Ссылки

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М. : Физматлит, 2004. — 572 с.
• Зорич В. А. Математический анализ , — Любое издание.