Функция Жуковского — конформное отображение , используемое для описания некоторых принципов, связанных с профилями крыльев самолётов. Названа в честь Н. Е. Жуковского из-за приложений, которые он дал этой функции в аэродинамике . Относится к классическим элементарным функциям комплексного анализа , так как большинство тригонометрических и гиперболических функций представимы в виде суперпозиции экспоненты и функции Жуковского .

Определение

Функция Жуковского определяется как преобразование комплексной плоскости ${\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$ по формуле

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right).}$

Также функцию Жуковского можно определить как композицию дробно-линейной и квадратичной функции :

${\displaystyle f(z)=(S_{1}^{-1}\circ S_{2}\circ S_{1})(z),}$

где

${\displaystyle S_{1}(z)={\frac {z-1}{z+1}},\;S_{2}(z)=z^{2}.}$

Свойства

• ${\displaystyle f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right)}$ .
• Обратной к функции Жуковского является функция ${\displaystyle g(z)=z+{\sqrt {z^{2}-1}}}$ .
• ${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}$ отлична от нуля при ${\displaystyle z\neq \pm 1}$ . Следовательно, отображение ${\displaystyle f(z)}$ является конформным везде, за исключением этих точек .
• Функция Жуковского совершает следующие конформные отображения :

• круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle (-1,1)}$ действительной оси.
• круг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1\right\rbrace }$ с разрезами по отрезкам ${\displaystyle (b,1)}$ и ${\displaystyle (-1,-a)}$ , где ${\displaystyle 0<a,b<1}$ на всю комплексную плоскость с разрезом по отрезку ${\displaystyle \left(-{\frac {1}{2}}\left(a+{\frac {1}{a}}\right),{\frac {1}{2}}\left(b+{\frac {1}{b}}\right)\right)}$ .
• верхняя полуплоскость на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$ и ${\displaystyle (1,+\infty )}$ на действительной оси.
• полукруг ${\displaystyle \left\lbrace z:|z|<1,{\mbox{Im}}\,z>0\right\rbrace }$ на нижнюю полуплоскость.
• окружность , проходящая через точку ${\displaystyle 1}$ и содержащая точку ${\displaystyle -1}$ , на замкнутую кривую, подобную профилю самолётного крыла и называющуюся профилем Жуковского — Чаплыгина. Вариацией радиуса и положения центра окружности можно менять угол изгиба и толщину крыла .

Преобразование Кармана — Треффца

Обобщением функции Жуковского является преобразование Кармана — Треффца, которое связывает исходную переменную ${\displaystyle z}$ с преобразованной ${\displaystyle \zeta }$ равенством

${\displaystyle {\frac {\zeta -k}{\zeta +k}}={\frac {(z-1)^{k}}{(z+1)^{k}}},}$

где ${\displaystyle k<2}$ . При ${\displaystyle k=2}$ получается ${\displaystyle \zeta =2f(z)}$ .

Примечания

Литература

• Евграфов, М. А. Аналитические функции. — 3-е изд., перераб. и доп. — М. : Наука , 1991. — 448 с. — ISBN 5-02-014200-X .
• Маркушевич, А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1957.
• Milne-Thomson, L. M. Theoretical aerodynamics (англ.) . — 4th ed. — New York: Dover Publications , 1973. — ISBN 0-486-61980-X .