Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle \alpha \in A}$ , ${\displaystyle A}$ — некоторое множество индексов, ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой ${\displaystyle C}$ .

${\displaystyle \exists C>0\;\forall \alpha \in A\;\forall x\in X\;|f_{\alpha }(x)|\leqslant C.}$

Вариации и обобщения

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства : семейство отображений ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$ , где ${\displaystyle Y}$ — полунормированное пространство с полунормой ${\displaystyle \Vert *\Vert }$ , называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная ${\displaystyle C>0}$ , что для всех ${\displaystyle \alpha \in A}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \Vert f_{\alpha }(x)\Vert \leqslant C}$

Равномерная ограниченность сверху ( снизу ) означает что существует такая постоянная ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ , что для всех а ${\displaystyle \alpha \in A}$ и всех ${\displaystyle x\in X}$ выполняется неравенство ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\leqslant C}$ (соответственно ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\geqslant C}$ )

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений ${\displaystyle f_{\alpha }:X\to Y}$ в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. также

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза