Одночле́н (устаревшее: моно́м ) — алгебраическое выражение , состоящее из произведения числового множителя ( коэффициента ) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных . Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), его степень равняется нулю, за исключением случая нулевого одночлена, степень которого не определена (часть источников приписывает нулевому одночлену степень ${\displaystyle -\infty }$ ) .

Примеры :

• ${\displaystyle -7}$
• ${\displaystyle x^{2}}$
• ${\displaystyle c^{2}xy}$
• ${\displaystyle -a}$
• ${\displaystyle 5ax^{3}}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене ${\displaystyle x^{2}}$ ), подразумевается коэффициент ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$ , в зависимости от знака перед одночленом .

Не являются одночленами выражения: ${\displaystyle a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.}$

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных .

Пример : ${\displaystyle 3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.}$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными , если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов .

Одночлен является частным случаем многочлена , не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана . Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями .

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца . Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам .

См. также

• Многочлен

Примечания

Литература

• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М. : Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2 .
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968. — С. 138—139. — 564 с.

Ссылки

• от 19 октября 2021 на Wayback Machine . Encyclopedia of Mathematics.