Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений .

Предпосылки и основная идея

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях , важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}},}$

${\displaystyle f(x)={\frac {\sin x}{x}},}$

${\displaystyle f(x)=x^{x},}$

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}$ станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным ^{[ источник не указан 3714 дней ]} .

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа , которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа . Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей , а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей , то есть полей, для которых введено дифференцирование , ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли , а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения

Для любого дифференцируемого поля ${\displaystyle F}$ есть подполе

${\displaystyle \operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},}$

которое называется полем констант ${\displaystyle F}$ . Для двух дифференциальных полей ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ поле ${\displaystyle G}$ называется логарифмическим расширением ${\displaystyle F}$ , если ${\displaystyle G}$ является ${\displaystyle F}$ (то есть ${\displaystyle G=F(t)}$ для некоторого трансцендентного ${\displaystyle t}$ ), так что

${\displaystyle {\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}}$ для некоторого ${\displaystyle s\in F}$ .

Это разновидность логарифмической производной . Для интуитивного понимания можно представить себе ${\displaystyle t}$ как логарифм некоторого ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle F}$ , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции . При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в ${\displaystyle F}$ , не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений ${\displaystyle F}$ . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

${\displaystyle {\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.}$

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle F}$ . Наконец, ${\displaystyle G}$ называется элементарным дифференциальным расширением ${\displaystyle F}$ , если имеется конечная цепочка подполей от ${\displaystyle F}$ до ${\displaystyle G}$ , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры

Поле ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Основная теорема

Предположим, что ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — дифференциальные поля, для которых ${\displaystyle \operatorname {Con} F=\operatorname {Con} G}$ , и ${\displaystyle G}$ является элементарным дифференциальным расширением ${\displaystyle F}$ . Пусть ${\displaystyle a\in F}$ , ${\displaystyle y\in G}$ и, кроме того, ${\displaystyle {\mathcal {D}}y=a}$ (то есть, ${\displaystyle G}$ содержит первообразную ${\displaystyle a}$ ). Тогда существуют ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}\in \operatorname {Con} F}$ , ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{n},v\in F}$ такие, что

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D}}u_{n}}{u_{n}}}+{\mathcal {D}}v.}$

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.

Ссылки

• , M. van der Put and M. F. Singer

См. также

• Алгоритм Риша
• Элементарные функции