Теорема Стокса
- 1 year ago
- 0
- 0
Теоре́ма о модуля́рности — математическая теорема , устанавливающая важное соотношение между эллиптическими кривыми над полем рациональных чисел и модулярными формами , являющимися определёнными аналитическими функциями комплексного переменного . В 1995 году Эндрю Уайлс , не без помощи Ричарда Тейлора , доказал данную теорему для всех полустабильных эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Доказательство остальных (неполустабильных) случаев теоремы явилось результатом работ , , и Ричарда Тейлора. До 2001 года (полное доказательство было получено в 1999 году ) теорема называлась гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля (или гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля ).
Теорема о модулярности входит в программу Ленглендса , которая, в частности, направлена на поиск взаимосвязи автоморфных форм или автоморфных представлений (удобное обобщение модулярной формы) с более общими объектами алгебраической геометрии , такими как эллиптические кривые над полем алгебраических чисел. Большинство гипотез в рамках данной программы пока не доказано.
Если — простое число , а — эллиптическая кривая над ( полем рациональных чисел ), то можно упростить уравнение, определив по модулю ; для любого конечного множества значений можно получить эллиптическую кривую над конечным полем из элементов. Введём последовательность , являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой . Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье ). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.
Теорема о модулярности утверждает, что все эллиптические кривые над являются модулярами.
Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой в сентябре 1955 года . Вместе с Горо Шимурой он немного уточнил формулировку в 1957 году , но не смог продолжить работу из-за психологических проблем .
В 1960-х годах гипотезу внесли в программу Ленглендса по унификации математических гипотез. О гипотезе в 1970-е вспомнил и начал её активное изучение француз Андре Вейль , поэтому эту гипотезу часто называют гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля .
Гипотезой широко заинтересовались только когда в 1985 году предположил, что гипотеза Таниямы — Шимуры (тогда она так называлась) является обобщением Великой теоремы Ферма , потому как любой контрпример к Великой теореме Ферма приводил в итоге к немодулярной эллиптической кривой. В 1986 году доказал это предположение. В 1995 году Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали особый случай теоремы Таниямы — Шимуры (случай ), которого было достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма .
Полностью теорема о модулярности была доказана в 1999 году в результате трудов , , и Ричарда Тейлора , которые, основываясь на работе Уайлса, доказали остальные (неполустабильные) случаи.
Из теоремы о модулярности следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых чисел , являющихся -ной степенью натурального числа, если » .
В марте 1996 года Уайлс получил премию Вольфа вместе с Робертом Ленглендсом . Несмотря на то, что ни один из них полностью не доказал теорему, было заявлено, что они внесли существенный вклад, значительно облегчивший дальнейшее доказательство .