Теоре́ма о модуля́рности — математическая теорема , устанавливающая важное соотношение между эллиптическими кривыми над полем рациональных чисел и модулярными формами , являющимися определёнными аналитическими функциями комплексного переменного . В 1995 году Эндрю Уайлс , не без помощи Ричарда Тейлора , доказал данную теорему для всех полустабильных эллиптических кривых над полем рациональных чисел. Доказательство остальных (неполустабильных) случаев теоремы явилось результатом работ (англ.) ( , (англ.) ( , (англ.) ( и Ричарда Тейлора. До 2001 года (полное доказательство было получено в 1999 году ) теорема называлась гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля (или гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля ).

Теорема о модулярности входит в программу Ленглендса , которая, в частности, направлена на поиск взаимосвязи автоморфных форм или автоморфных представлений (удобное обобщение модулярной формы) с более общими объектами алгебраической геометрии , такими как эллиптические кривые над полем алгебраических чисел. Большинство гипотез в рамках данной программы пока не доказано.

Формулировка

Если ${\displaystyle p}$ — простое число , а ${\displaystyle E}$ — эллиптическая кривая над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ( полем рациональных чисел ), то можно упростить уравнение, определив ${\displaystyle E}$ по модулю ${\displaystyle p}$ ; для любого конечного множества значений ${\displaystyle p}$ можно получить эллиптическую кривую над конечным полем ${\displaystyle F_{p}}$ из ${\displaystyle n_{p}}$ элементов. Введём последовательность ${\displaystyle a_{p}=n_{p}-p}$ , являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ . Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье ). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.

Теорема о модулярности утверждает, что все эллиптические кривые над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ являются модулярами.

История

Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой в сентябре 1955 года . Вместе с Горо Шимурой он немного уточнил формулировку в 1957 году , но не смог продолжить работу из-за психологических проблем .

В 1960-х годах гипотезу внесли в программу Ленглендса по унификации математических гипотез. О гипотезе в 1970-е вспомнил и начал её активное изучение француз Андре Вейль , поэтому эту гипотезу часто называют гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля .

Гипотезой широко заинтересовались только когда в 1985 году (англ.) ( предположил, что гипотеза Таниямы — Шимуры (тогда она так называлась) является обобщением Великой теоремы Ферма , потому как любой контрпример к Великой теореме Ферма приводил в итоге к немодулярной эллиптической кривой. В 1986 году (англ.) ( доказал это предположение. В 1995 году Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали особый случай теоремы Таниямы — Шимуры (случай (англ.) ( ), которого было достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма .

Полностью теорема о модулярности была доказана в 1999 году в результате трудов (англ.) ( , (англ.) ( , (англ.) ( и Ричарда Тейлора , которые, основываясь на работе Уайлса, доказали остальные (неполустабильные) случаи.

Из теоремы о модулярности следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы двух взаимно простых чисел , являющихся ${\displaystyle n}$ -ной степенью натурального числа, если ${\displaystyle n\geqslant 3}$ » .

В марте 1996 года Уайлс получил премию Вольфа вместе с Робертом Ленглендсом . Несмотря на то, что ни один из них полностью не доказал теорему, было заявлено, что они внесли существенный вклад, значительно облегчивший дальнейшее доказательство .

Примечания

Ссылки

• Darmon, Henri. , Notices of the American Mathematical Society, Vol. 46 (1999), No. 11. Содержит введение к теореме и обзор её доказательства.
• Conrad, Brian, Fred Diamond, Richard Taylor. , Journal of the American Mathematical Society 12 (1999), pp. 521—567. Приведено доказательство теоремы.

Литература

• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .