Модулярная функция — мероморфная функция , определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$ ), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы широко используются в теории чисел , а также в алгебраической топологии и теории струн .

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$

для каждой матрицы:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)}$ ,

принадлежащей модулярной группе ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ .

Модулярная форма

Модулярной формой веса ${\displaystyle k}$ для группы ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ называется голоморфная функция ${\displaystyle f\colon H\rightarrow C}$ , удовлетворяющая условию:

${\displaystyle f(g\tau )=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$ для любых ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ и ${\displaystyle \tau \in H}$

и голоморфная во всех параболических точках .

Пусть ${\displaystyle H}$ — верхняя комплексная полуплоскость: ${\displaystyle H=\left\{z\in C\mid \mathop {\mathrm {Im} } (z)>0\right\}}$ . Группа матриц ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ для натурального числа ${\displaystyle N}$ определяется как:

${\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}\;{\Big \vert }\;c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}$ .

Группа ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ действует на ${\displaystyle H}$ с помощью дробно-линейных преобразований ${\displaystyle g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},}$ где ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}$ и ${\displaystyle \tau \in H}$ .

Свойства модулярных форм

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса ${\displaystyle 2k}$ является (при ${\displaystyle k>1}$ ) ряд Эйзенштейна :

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}}$ ,

где ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ .

Пусть

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}}$

— модулярные инварианты, ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант ( ):

${\displaystyle j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }}$ ,

выполняются равенства:

${\displaystyle g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau )}$ ,

${\displaystyle \Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau )}$ .

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть ${\displaystyle g_{2}}$ — модулярная форма веса 4, ${\displaystyle \Delta }$ — модулярная форма веса 12. Соответственно ${\displaystyle g_{2}^{3}}$ — модулярная форма веса 12, а ${\displaystyle j(z)}$ — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых .

Примечания

Литература

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М. : ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4 .
• Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0 .
• Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X .
• В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6 .

Ссылки

• J. S. Milne, , курс лекций.